1、黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三数学下学期第三次模拟试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】可解方程组得出，或，从而得出有两个元素，从而得出的子集个数【详解】解得，或；,即中有2个元素；子集个数为4故选：B【点睛】考查描述法表示集合的概念，交集的定义及运算，以及子集的定义，子集个数的求法2. 小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则
2、调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】根据中位数的求法，将南岗区7个小区和道里区8个小区的空置房套数按照从小到大顺序排列即可求出【详解】南岗区7个小区的空置房套数为：60,73,74,79,81,82,91,所以中位数为79；道里区8个小区的空置房套数为：69,74,75,76,80,82,83,90,所以中位数为；故南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为故选：D【点睛】本题主要考查利用茎叶图求中位数，属于基础题3. 已知复数为纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
3、分析】由已知可得实部为0且虚部不为0，求得与的值，再由同角三角函数基本关系式得答案【详解】为纯虚数，解得，根据 可得则故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是基础的计算题4. “新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施.下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图.根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是（ ） A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省C. 2月7日到2月13日乙省
4、相对甲省的新增“新冠甲省肺炎”确诊人数的波动大D. 后四日（2月10日至13日）乙省每日新增“新冠肺炎”确诊人数均比甲省多【答案】C【解析】【分析】根据图象计算平均数,读数进行比较即可得到结果.【详解】根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数为20， 单日新增最大值为28； 2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，单日新增最大值为29，故可得A、B正确；从图中可观察出甲省人数在之间变化，乙省人数在之间变化，很明显甲省的波动大，故C错误； 由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确.故选：C【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，考查用样
5、本的数字特征估计总体，属于基础题5. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用三视图转换为直观图，由此即可求出几何体的体积【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是底面边长为2的正方形和高为1的四棱锥 如图所示： 所以： 故选：B【点睛】本题主要考查了三视图和直观图形之间的转换，锥体体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题6. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的的值为（ ）A. 的值B. 的值C. 的值D. 的值【答案】A【解析】【详解】第一次循环，;第二次循环，；第三次循环，此时，不成
6、立，结束循环，输出为的值，故选A.7. 已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的线性运算的应用和三角形的面积公式的应用求出结果.【详解】因为，所以，所以，又因为 M为边的中点，所以点到的距离等于点到的距离，所以故选：B 【点睛】本题考查向量的线性运算的应用，三角形的面积公式的运用，考查运算能力和转换能力，属于基础题.8. 已知为函数的图象的一条对称轴，若，且在单调，则（ ）A. 0B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由，由是的图象的一条对称轴，可求得，再由，且在单调，则，两点关于图象的对称中心对称，求得答案.【详解
7、】由，由是的图象的一条对称轴，则，得，又，得，则，若，且在单调，则，两点关于图象的对称中心对称，即，得，则.故选：C.【点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型函数的对称轴和对称中心的应用，还考查了学生的分析理解能力，转化能力，属于中档题.9. 已知，照此规律（ ）A. 45B. -45C. 55D. -55【答案】D【解析】【分析】观察分析，第奇数个式子的结果是其每个因式中幂式中的底数之和，第偶数个式子的结果是其每个因式中幂式中的底数之和的相反数，以此可写出答案.【详解】因为，照此规律故选：D【点睛】本题考查合情推理中数与式的归纳推理，属于简单题.10. 已知F为双曲线的右焦点，M为双曲线C上一点
8、，且与x轴垂直，点M关于双曲线的渐近线的对称点为N，则的面积为（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程求出右焦点的坐标，及渐近线方程，再由与x轴垂直，可得M的坐标，进而分别求出M关于两条渐近线对称点N的坐标，求出三角形的面积.【详解】解：设M在第一象限，由双曲线的方程可得右焦点，轴，可得，渐近线方程为，当M关于直线的对称点为，则，当M关于直线的对称点为，则，故选：C【点睛】此题考查双曲线的性质及点关于直线的对称点的坐标，和三角形面积的求法，属于中档题.11. 已知A、B为半径为2的球O表面上的两点，且.平面平面，直线，若平面、截球O所得的截面分别为和，则（
9、）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】关键是画出图象，可将题中立体图放在长方体中，球即为长方体的外接球，根据熟悉的线面关系可求得答案.【详解】将题中点线面放置到长方体中，如图所示：则，可得，设，则，得则.故选：A.【点睛】本题考查了转化与化归思想，将有关球的相关问题转化到熟悉的长方体外接球中解决问题，属于中档题.12. 已知函数有两个零点，且则下列结论中不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，可知当时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解的范围判断A，分析函数两零点大于0，代入原函数，可得，得到判断D，由，设，则为的两个零点
10、，利用导数求解的范围与的范围判断B与C【详解】解：由，得，当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合题意；当时，由得， 当时，则在上单调递减； 当时，则在上单调递增，所以当时，函数取得极小值为，因为当时，当时，所以要使函数有两个零点，则，解得，故A正确；由，极小值点，可得，因为是函数的两个零点，所以，所以，所以，故D不正确；由，设，则为的两个零点，由，得在上单调递增，在上单调递减，所以，故B正确；设，则，由于恒成立，则在上单调递增，因为，所以，即，得，因为在上单调递减，所以，即，故C正确，综上D不正确故选：D【点睛】此题考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数求极值，考查数学转化思想，考查运算能
11、力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13. 随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是_.【答案】【解析】【分析】设2个红球分别为A，B，3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，利用列举法求出基本事件总数有10个，第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有1个，由此能
12、求出结果.【详解】解：设2个红球分别为A，B，3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，分别有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种基本事件，其中第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有AB，所以顾客获得特等奖的概率是故答案为：【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型等知识，考查运算求解能力，属于基础题.14. 设函数在处的切线与x，y轴围成的区域为，点P是内一动点，点Q是函数上的动点，则线段的最小值为_.【答案】【解析】【分析】先求函数在处的切线方程，得到区域，函数等价变形为，数形结合并分析可求得线段的最小值.【详解】，则，又切点为，故切线方程为，
13、又由，得，即是以为圆心，半径为的上半圆上的动点，作图如图所示：由图可得.故答案为：【点睛】本题考查了函数在某点处的切线方程的求法，函数的等价变形，数形结合思想，还考查了圆外的点到圆上的点的距离的最小值，属于中档题.15. 已知函数，则不等式解集为_.【答案】【解析】【分析】分类讨论与时，带入分段函数不同的解析式解不等式即可.【详解】当时，即，当时，所以，综上所述，故答案为：【点睛】本题考查在分段函数中解不等式，属于基础题.16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则_；若O是外接圆的圆心，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差
14、公式进行化简变形，即可得答案作出图形，是ABC外接圆的圆心，根据数量积的定义，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案【详解】，由，代入上式得，因为 所以，即，因为是锐角三角形，所以，如图所示，是外接圆的圆心，则故答案为：；【点睛】本题考查向量的数量积的应用，正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列，满足，.（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）先由题设条件得，再由，进而证明数列为等差数列，求出其通项公式；（2）
15、先由（1）和题设条件求出，再利用错位相减法求其前项和即可【详解】解：（1），将等式两边同除以，整理得， ，即，因此，是首项为，公差为的等差数列，.（2），作差得，.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题18. 新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重.随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅推出线上促销活动：A套餐（在下列食品中6选3）西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝土包、黑列巴、全麦吐司；中式面点：豆包、桂花糕B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合.复工复产后某一周两种套餐的日销售量
16、（单位：份）如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日A套餐11121418221923B套餐6131515372041（1）根据上面一周的销量，计算A套餐和B套餐的平均销量和方差，并根据所得数据评价两种套餐的销售情况；（2）若某顾客购买一份A套餐，求他所选的面点中至少一种中式面点的概率.【答案】（1），A套餐比B套餐平均销量低，且A套餐比B套餐销量相对稳定；（2）.【解析】【分析】（1）由均值与方差计算公式运算即可；（2）求出所选面点中没有中式面点的概率，再求其对立事件的概率即为答案.【详解】（1）A套餐数据的平均数:，A套餐数据的方差:，B套餐数据的平均数:，B套餐数据的方程:，该周
17、销量中A套餐比B套餐平均销量低，且A套餐比B套餐销量相对稳定； （2）设某顾客所选的面点中没有中式面点为事件M，从A套餐中选三种共种不同的方法，其中没有中式面点共种不同的方法，则，他所选的面点中至少一种中式面点的概率：.【点睛】本题考查用样本数据估计总体其中涉及算均值与方差，还考查了古典概型求概率问题，属于简单题.19. 如图1，在直角梯形中，点E在上，且，将三角形沿线段折起到的位置，（如图2）.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点M，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）取中点，连结在中，由余弦定理求得，根据勾股
18、定理证得，在证得，证得面，从而证得面平面；（2）过找到一个平面与面平行即可解决问题，即取中的点且，则，则，再过作交于，即所求，并根据平行线比例性质，可求得.【详解】（1）取中点，连结在中，由余弦定理得，又，面，面，面，又面，面面；（2）存在，满足，使平面.证明：取中的点且，则，所以四边形为平行四边形，再过作交于，又，面，面，面，同理，面，又，所以面面，面，因此，面.此时，由，则，得.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，面面平行的性质，线面平行的证明，属于中档题题.20. 已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上，抛物线焦点到准线的距离为.（1）求椭圆、抛物线的方程；（2）过椭圆右顶点Q的直线与抛物线交
19、于点A、B，射线、分别交椭圆于点、.（i）证明：为定值；（ii）求的面积的最小值.【答案】（1），；（2）（i）证明见解析，（ii）.【解析】【分析】（1）由椭圆的对称性可得所给的四个点哪几个在椭圆上，代入椭圆的方程可得的值，进而求出椭圆的方程； （2）（i）由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程与抛物线联立求出两根之和，及两根之积可证得 为定值； （ii）设直线的斜率，设的直线方程与椭圆联立求出的坐标，求出，的值，由（）可得，求出面积的表达式，由均值不等式求出面积的最小值【详解】（1）关于轴对称，关于轴对称，在上，若上，则，不在上，在上， 又，； （2）（i）由（1）可得右顶点，由题意可得直
20、线的不为，设，设， 将直线与代入抛物线的方程,可得，；所以 ，所以为定值；（ii），所以设直线将直线代入中得： 所以，即；同理得，所以，即； 当时，.【点睛】本题考查求椭圆及抛物线的方程，和直线与椭圆，直线与抛物线的综合，及均值不等式的应用，属于中档题21. 已知函数.（1）当时，求在上最值；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）将代入求出，求导得，利用导数研究函数的单调性，进而求得在上最值；（2）根据题意，将问题转化为恒成立，令，通过构造新函数和利用导数研究函数的单调性和最值，即可得出实数的取值范围.【详解】解：（1）当时， 则，解得：
21、，所以在上的变化情况表如下：-0+0-减增减所以，.（2）由于恒成立，设，设，则，设，则，所以在上单调递增，即，上单调递增，则 当时，即，在，符合题意；当时，即，存在，使，在上，是减函数，所以上，不符题意，综上得，实数的取值范围为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查利用导数解决不等式的恒成立问题从而求出参数范围，考查分类讨论思想和运算求解能力.22. 已知曲线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，正方形的顶点都在上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（）求曲线的普通方程及点A、B、C、D的直角坐标；（）设
22、P为上任意一点，求的取值范围.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果（）利用曲线上的点的范围，进一步求出关系式的范围【详解】解：（I），（II）设【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题23. 已知函数.（）若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值集合A；（）若，求证：【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求集合；（）运用作差比较法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证【详解】（I）当且仅当时取.（II）由，即所以即，得证.点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题
