1、第2课时 独立事件的概率基础认知自主学习 独立事件(1)定义：一般地，对于两个随机事件 A，B，如果 P(AB)P(A)P(B)，那么称 A，B 为相互独立事件(2)独立事件的概率计算公式：A，B 相互独立 P(AB)P(A)P(B).说明：若 A，B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B 也相互独立1在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为 0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为()A0.28 B0.12C0.42 D0.16【解析】选 B.甲未通过的概率为 0.3，则甲未通过而乙通过的概率为 0.30.40.12.2袋内有 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，用
2、 A 表示“第一次摸得白球”，用 B 表示“第二次摸得白球”，则 A 与 B 是()A互斥事件 B相互独立事件C对立事件 D不相互独立事件【解析】选 D.互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件，故可判断 A，B 不互斥，则也不对立，事件 A 发生对事件 B 的概率有影响，故 A 与 B 是不相互独立事件3打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是()A1425 B1225 C34 D35【解析】选 A.因为甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，所以 P(甲)45，P(乙)710，所以他们都
3、中靶的概率是 P45 710 1425.4两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23 和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_【解析】两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件 A 和 B.则 PP(A B)P(A B)23 13412334 512.答案：5125某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段选手要回答一个问题规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则被淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立求该选手在复赛阶段被淘汰的概率【解析】记“该选手通过初赛”为事件 A，“该选手通过复赛”
4、为事件 B，则 P(A)34，P(B)12，那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率PP(A B)P(A)P(B)34 11238.学情诊断课时测评一、单选题1下列事件 A，B 是相互独立事件的是()A一枚硬币掷两次，A“第一次为正面”，B“第二次为反面”B袋中有 2 个白球，2 个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，事件 A 为“第一次摸到白球”，事件 B 为“第二次摸到白球”C掷一枚骰子，A“出现点数为奇数”，B“出现点数为偶数”DA 为“甲灯泡能用 1 000 小时”，B 为“甲灯泡能用 2 000 小时”【解析】选 A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故 A 是
5、相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，其结果具有唯一性，A，B 应为互斥事件；D 中事件 B 受事件 A 的影响2若 P(AB)19，P(A)23，P(B)13，则事件 A 与 B 的关系是()A事件 A 与 B 互斥B事件 A 与 B 对立C事件 A 与 B 相互独立D事件 A 与 B 既互斥又独立【解析】选 C.因为 P(A)23，所以 P(A)13，又 P(B)13，P(AB)19，所以有 P(AB)P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 相互独立但不一定互斥3甲、乙两班各有 36 名同学，甲班有 9 名三好学生，乙班有 6 名三好学生，两班
6、各派 1 名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A 524 B 512C 124 D38【解析】选 C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件 A，B 分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件 AB 为两班派出的都是三好学生，则 P(AB)P(A)P(B)936 636 124.4分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币，设“第 1 枚为正面”为事件 A，“第 2 枚为正面”为事件 B，“2 枚结果相同”为事件 C，有下列三个命题：事件 A 与事件 B 相互独立；事件 B 与事件 C 相互独立；事件 C 与事件 A 相互独立以上命题中，正确的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选 D
7、.P(A)12，P(B)12，P(C)12，P(AB)P(AC)P(BC)14，因为 P(AB)14 P(A)P(B)，故 A，B 相互独立；因为 P(AC)14 P(A)P(C)，故 A，C 相互独立；因为 P(BC)14 P(B)P(C)，故 B，C 相互独立5在某段时间内，甲地不下雨的概率为 P1(0P11)，乙地不下雨的概率为 P2(0P21)，若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为()AP1P2B1P1P2CP1(1P2)D(1P1)(1P2)【解析】选 D.因为甲地不下雨的概率为 P1，乙地不下雨的概率为 P2，且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内
8、两地都下雨的概率为 P(1P1)(1P2).62019 年 10 月 20 日，第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5 项成果均属于芯片领域现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为()A8991B 291C 98125D1927【解析】选 D.根据题意可知，1 名学生从 15 项中任选 1 项，其选择“芯片领域”的概率为 515 13，故其没有选择“芯片领域”的概率为23，则 3 名学生均没有选择“芯片领域”的概率为23 23 23 827，因此
9、至少有 1 名学生选择“芯片领域”的概率为 1 827 1927.二、多选题7已知事件 A，B，且 P()A0.5，P()B0.2，则下列结论正确的是()A如果 BA，那么 P()AB0.2，P()AB0.5B如果 A 与 B 互斥，那么 P()AB0.7，P()AB0C如果 A 与 B 相互独立，那么 P()AB0.7，P()AB0D如果 A 与 B 相互独立，那么 PAB0.4，PA B0.4【解析】选 BD.A 选项：如果 BA，那么 P()AB0.5，P()AB0.2，故 A 选项错误；B 选项：如果 A 与 B 互斥，那么 P()AB0.7，P()AB0，故 B 选项正确；C 选项：
10、如果 A 与 B 相互独立，那么 P()AB0.7，P()AB0.1，故 C 选项错误；D 选项：如果 A 与 B 相互独立，那么 PABPAPB0.4，PA BP()APB0.4，故 D 选项正确8下列对各事件发生的概率判断不正确的是()A某学生在上学的路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第 3 个路口首次遇到红灯的概率为127B甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6
11、个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为19，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生A 不发生的概率相同，则事件 A 发生的概率是29【解析】选 ABD.对于 A，该生在第 3 个路口首次遇到红灯的情况为前 2 个路口不是红灯，第 3 个路口是红灯，所以概率为113213 427，故 A 错误，符合题意；对于 B，用 A，B，C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则 P(A)15，P(B)13，P(C)14，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45 23 34 25，所以此密码被破译的概率为 125 35，故 B 不正确，符合题意
12、；对于 C，设“从甲袋中取到白球”为事件 A，则 P(A)812 23，设“从乙袋中取到白球”为事件 B，则 P(B)612 12，故取到同色球的概率为23 12 13 12 12，故 C 正确，不符合题意；对于 D，易得 P(A B)P(B A)，即 P(A)P(B)P(B)P(A)，即 P(A)1P(B)P(B)1P(A)，所以 P(A)P(B)，又 P(AB)19，所以 P(A)P(B)13，所以 P(A)23，故 D 错误，符合题意三、填空题9在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是A 型若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A
13、型螺栓的概率为_【解析】“从甲盒内取一个 A 型螺杆”记为事件 M，“从乙盒内取一个 A 型螺母”记为事件 N，因事件 M，N 相互独立，则能配成 A 型螺栓(即一个 A 型螺杆与一个 A 型螺母)的概率为 P(MN)P(M)P(N)160200 180240 35.答案：3510甲袋中有 8 个白球、4 个红球，乙袋中有 6 个白球、6 个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是_.【解析】由题意知 P 884 666 484 666 12.答案：12四、解答题11袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各 1 个，从中任取 1 只，有放回地抽取 3次求：(1)3 只全是红球的概率；(2
14、)3 只颜色全相同的概率；(3)3 只颜色不全相同的概率【解析】由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为12.(1)3 只全是红球的概率为P112 12 12 18.(2)3 只颜色全相同的概率为P22P1218 14.(3)3 只颜色不全相同的概率为P31P2114 34.12甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙 3 名学生能通过笔试的概率分别是 0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是 0.6，0.
15、6，0.75.(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率【解析】(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件 A1，A2，A3，则 A1，A2，A3 为相互独立事件，E 表示事件“恰有一人通过笔试”，则P()EP()A1A2 A3P()A1A2A3P()A1 A2A30.60.50.60.40.50.60.40.50.40.38，即恰有一人通过笔试的概率是 0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件 A，B，C，则 P()A0.60.60.36，P()B0.50.60.3，P(C)0.40.750.3
16、.事件 F 表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则 F 表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，F ABC，于是 P()F1PF1PAPBPC10.640.70.70.686 4.即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是 0.686 4.一、选择题1甲射击一次命中目标的概率是12，乙射击一次命中目标的概率是13，丙射击一次命中目标的概率是14，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为()A34 B23 C45 D 710【解析】选 A.由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为12，13，14，三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为：12 23 34 14，
17、由对立事件的概率公式，得到目标被击中的概率为：114 34.2设 M，N 为两个随机事件，给出以下命题：(1)若 M，N 为互斥事件，且 P(M)15，P(N)14，则 P(MN)920；(2)若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则 M，N 为相互独立事件；(3)若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则 M，N 为相互独立事件；(4)若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则 M，N 为相互独立事件；(5)若 P(M)12，P(N)13，P(MN)56，则 M，N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选 D.若 M，N 为互斥事件
18、，且 P(M)15，P(N)14，则 P(MN)15 14 920，故(1)正确；若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则由相互独立事件乘法公式知 M，N 为相互独立事件，故(2)正确；若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，则 P(M)1P(M)12，P(MN)P(M)P(N)，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M，N 为相互独立事件，故(3)正确；若 P(M)12，P(N)13，P(MN)16，当 M，N 为相互独立事件时，P(N)1P(N)23，P(MN)12 23 13 16，故(4)错误；若 P(M)12，P(N)13，P(MN)56，则 P(MN)P
19、(M)P(N)16，P(MN)1P(MN)，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M，N 为相互独立事件，故(5)正确3随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过 5 的概率记为 p1，点数之和大于 5 的概率记为 p2，点数之和为偶数的概率记为 p3，则()Ap1p2p3 Bp2p1p3Cp1p3p2 Dp3p1p2【解析】选 C.列表得：(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3
20、)(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)所以一共有 36 种等可能的结果，两个骰子点数之和不超过 5 的有 10 种情况，点数之和大于 5 的有 26 种情况，点数之和为偶数的有 18 种情况，所以向上的点数之和不超过 5 的概率 p11036 518，点数之和大于 5 的概率 p22636 1318，点数之和为偶数的概率记为 p31836 12.二、填空题4甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为 0.35，乙译出密码的概率为 0.25，则恰有 1 人译出密码的概率为_【解析】记甲、乙两人译出密码分别为
21、事件 A，B，则 P(A)0.35，P(B)0.25，恰有一人译出密码为事件 A B A B，所以 P(A B A B)P(A)P(B)P(A)P(B)0.35(10.25)0.25(10.35)0.425.答案：0.4255A，B，C 三人将参加某项测试，三人能否达标互不影响，已知他们能达标的概率分别是45，35，12，则三人都能达标的概率是_，三人中至少有一人能达标的概率是_【解析】A，B，C 三人将参加某项测试，三人都能达标的概率是45 35 12 625；A，B，C 三人将参加某项测试，都没有达标的概率是145135112 125，因此 A，B，C 三人将参加某项测试，三人中至少有一人
22、能达标的概率是 1 125 2425.答案：625 24256投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的 1 篇稿件被录用的概率为_【解析】记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用，则
23、 DABC，P(A)12 12 14，P(B)212 12 12，P(C)14，所以 P(D)P(ABC)P(A)P(BC)P(A)P(B)P(C)14 12 14 38.答案：387甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45 和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23 和12.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是_，只有一人被录取的概率是_【解析】甲被录取的概率为 P145 34 35，乙被录取的概率为 P223 12 13，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是 PP1P235 13 15，只有一人被录取的概率是 PP11P
24、2P2(1P1)35 23 25 13 815.答案：15 815三、解答题8已知电路中有 4 个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率【解析】因为 A，B 断开且 C，D 至少有一个断开时，线路才断开导致灯不亮，PP(AB)1P(CD)P(A)P(B)1P(CD)12 12 11212 316.所以灯亮的概率为 1 316 1316.9某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 0.6，0.4，0.5，0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选
25、手在选拔中至少回答了 2 个问题被淘汰的概率【解析】(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为事件 Ai(i1，2，3，4)，则 P(A1)0.6，P(A2)0.4，P(A3)0.5，P(A4)0.2.该选手被淘汰的概率：PP(A1A1A2A1 A2A3A1 A2 A3A4)P(A1)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.40.60.60.60.40.50.60.40.50.80.976.(2)PP(A1A2A1 A2A3A1 A2 A3A4)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.60.60.60.40.50.60.40.50.80.576.