1、模块复习课MOKUAIFUXIKE第1课时推理与证明课后篇巩固提升A组1.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时,假设的内容应为()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析“至多有一个”的否定为“至少有两个”.答案B2.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积为S=r2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积为S=abD.以上均不正确解析
2、从S1,S2,S3猜想出数列前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.答案B3.由正三角形的内切圆切于三边的中点可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案C4.要证3a-3b3a-b成立,a,b应满足的条件是()A.abbB.ab0且a0且a0,ab或ab0,ab解析要使3a-3b3a-b成立,只要a-b+33ab2-33a2ba-b,只要3ab23a2b,只要ab20,
3、故只要ab0且ab,或ab0且a180,这与三角形内角和为180矛盾,故假设错误.所以一个三角形不能有两个直角.假设ABC中有两个直角,不妨设A=90,B=90.上述步骤的正确顺序为.解析由反证法的证明步骤可知,正确的步骤为.答案7.已知数列an的前n项和为Sn,f(x)=2x-1x+1,an=log2f(n+1)f(n),则S2 016=.解析an=log2f(n+1)f(n)=log2f(n+1)-log2f(n),S2016=a1+a2+a3+a2016=log2f(2)-log2f(1)+log2f(3)-log2f(2)+log2f(4)-log2f(3)+log2f(2017)-l
4、og2f(2016)=log2f(2017)-log2f(1)=log24034-12017+1-log212=log240332018+1.答案log240332018+18.已知集合a,b,c=0,1,2,有下列三个关系a2;b=2;c0,若三个关系中有且只有一个是正确的,则a+2b+3c=.解析若正确,错误,则a2,b2,c=0,矛盾,不成立;若正确,错误,则a=2,b=2,c=0,矛盾,不成立;若正确,错误,则a=2,b=0,c=1,成立,a+2b+3c=5.答案59.已知a0,用分析法求证:a2+1a2-2a+1a-2.证明要证a2+1a2-2a+1a-2,即需证a2+1a2+2a+
5、1a+2,a0,故只需证a2+1a2+22a+1a+22,即a2+1a2+4a2+1a2+4a2+2+1a2+22a+1a+2,从而只需证2a2+1a22a+1a,即需证4a2+1a22a2+2+1a2.即a2+1a22.而此不等式显然成立,故原不等式成立.10.已知数列an前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(nN+).(1)试求a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明猜想.解(1)因为a1=1,Sn=n2an(nN+),所以S2=4a2=a1+a2,所以a2=13a1=13.同理可求a3=16,a4=110.(2)由(1)知数列an中,a1=1=212,a2=13
6、=223,a3=16=234,a4=110=245,猜想:an=2n(n+1).证明如下:当n=1时,a1=212=1,命题成立;假设当n=k(kN+)时命题成立,即ak=2k(k+1),当n=k+1时,Sk+1=(k+1)2ak+1=Sk+ak+1=k2ak+ak+1,整理得ak+1=2(k+1)(k+2),所以当n=k+1时命题也成立.综上,nN+时有an=2n(n+1).B组1.已知f(x)=x3+x,a,b,cR,且a+b0,a+c0,b+c0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定()A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析由f(x)=x3+x的性质知,f(x)是奇函数且是增
7、函数,a+b0,a+c0,b+c0,a-b,a-c,b-c.f(a)f(-b),f(a)f(-c),f(b)f(-c).由奇函数得:f(a)+f(b)0,f(a)+f(c)0,f(b)+f(c)0,三式相加得2f(a)+f(b)+f(c)0,即f(a)+f(b)+f(c)0.答案A2.把1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示),第七个三角形数是()A.27B.28C.29D.30解析由1,3,6,10,15,21可以观察其差成等差数列,即a2-a1=2,a3-a2=3,a7-a6=7,即a7=a6+7=28,故选B.答案B3.半径为
8、r的圆的面积S(r)=r2,周长C(r)=2r,若将r看作(0,+)上的变量,则(r2)=2r,式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球,若将R看作(0,+)上的变量,请你写出类似于的式子:,式可以用语言叙述为:.解析由于球的体积V=43R3,球的表面积为S=4R2,所以有43R3=4R2.答案43R3=4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数4.求证:抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.证明假设抛物线上任取四点所组成的四边形可能是平行四边形.如图,设抛物线方程y2=2px(p0),在抛物线上任取不同的四点,其坐标分别为A(x1,y1),B(x2
9、,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).则yi2=2pxi(i=1,2,3,4).于是直线AB的斜率kAB=y2-y1x2-x1=2py2+y1,同理,kBC=2py3+y2,kCD=2py4+y3,kDA=2py1+y4.假设四边形ABCD是平行四边形,则有kAB=kCD,kBC=kDA,即y2+y1=y4+y3,y3+y2=y1+y4,-得y1-y3=y3-y1,y1=y3,y2=y4,则x1=y122p=y322p=x3.同理,x2=x4.x1=x3,y1=y3,x2=x4,y2=y4.显然A,C重合,B,D重合,与A,B,C,D为抛物线上任意四点矛盾,故假设不成立.四边形ABCD
10、不可能是平行四边形.抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形.5.设f(n)=1+12+13+1n,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.解当n=2时,由f(1)=g(2)f(2)-1,得g(2)=f(1)f(2)-1=11+12-1=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1,得g(3)=f(1)+f(2)f(3)-1=1+1+121+12+13-1=3,猜想g(n)=n(n2).下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立.当n=2时,由上面计算知,等式成立.假设当n=k时,f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1恒成立.则当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)f(k+1)-1k+1-k=(k+1)f(k+1)-1,当n=k+1时,等式也成立.由知,对一切n2的自然数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.