1、浙东北（ZDB）三校2013-2014学年第一学期期中考试高二数学（理科）试卷命题学校：嘉善高级中学 命题老师：王书朝 审卷老师：杨月荣【考生须知】1.本科考试分试题卷与答题卷，选择题在机读卡上作答，填空和解答题在答题卷上作答；2.本科考试时间120分钟，满分为100分 3.参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式（为球的半径） 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 球的体积公式 台体的体积公式（为球的半径） 其中R表示球的半径 其中分别表示台体的上、下底面积锥体的体积公式 表示台体的高 其中表示锥体的底面积，表示锥体的高. 一、选择题（本题共12题，每小题3分，共36分）1下列说法正确的是（
2、）A三点确定一个平面 B 四边形一定是平面图形 C梯形一定是平面图形 D 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点2直线的斜率是（ ）AByxO第4题A B C D3垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A平行 B 相交 C 异面 D 以上都有可能4一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是以为直角顶点的等腰直角，若，那么原的面积是（ ）A B C D5已知如下命题，其中一定正确的是（ ）若，则 若，则 若则 若则A C D 第6题6右图是正方体的表面展开图，则下列描述正确的是（ ）A.BM与ED平行 BCN与BM相交 C. CN与BE异面 DDM与BN垂直7设是两条不同的直线,是两个不同的平
3、面,下列命题正确的是（ ） A若则 B若则 C若则 D若则8已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. (2,3)第10题9. 球面上有四个点,两两互相垂直,则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点处取得最大值，则的取值范围是（ ） C D11设满足 ， 若目标函数的最大值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成角，则这个三棱柱的体积是（ ）A B C D二、填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）13已
4、知直线与直线平行，则的值是 14母线长为的圆锥的侧面积为，则此圆锥展开图的中心角为 15若实数满足不等式组则的最小值是 第17题16.若不等式的解集为，则实数的取值范围为_.17在三棱柱中，侧棱都与底面垂直，且有,点是线段的中点，则平面与底面所成的二面角的大小（锐角）是_.18某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为 第19题三、解答题（本大题共6小题，共46分）19. （本题满分6分）的三个顶点分别为(1) 求边上的中线所在直线的方程;（2）求边的垂直平分线的方程.20. （本题满分6分）
5、俯视图侧视图正视图第20题某几何体的三视图如下，其中俯视图的内外均为正方形，正视图和侧视图是全等的等腰梯形，求此几何体的体积和表面积21.（本题满分8分）已知正方体,是线段上的异于端点的点，第21题设.（1）当是中点时，异面直线所成角的正切值; （2）求证：面.22（本题满分8分）如图1,在等腰中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.第22题图1图2.(1) 证明:平面; (2)求与平面所成角的正弦值.23.(本题满分9分)如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积最大时二面角的大小的余弦值.24
6、.（本题满分9分）设，且，为常数 （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，以为三边长总能构成三角形，求的取值范围浙东北（ZDB）三校2013-2014学年第一学期期中考试高二数学（理科）参考答案一、选择题（本题共12题，每小题3分，共36分）CADBB DCDAB AD二、填空题（本题共6题，每小题3分，共18分）13. ； 14. ； 15. ； 16. 或 17. 18.第19题三、解答题（本题共6题，共46分）19. （本题满分6分）的三个顶点分别为(1) 求边上的中线所在直线的方程;（2）求边的垂直平分线的方程.19解：(1) 中点， 直线斜率 中线所在直线的方程:即 3分（2）直线
7、斜率, 边的垂直平分线的斜率为 边的垂直平分线的方程即 6分20. （本题满分6分）俯视图侧视图正视图第20题某几何体的三视图如下，其中俯视图的内外均为正方形，正视图和侧视图是全等的等腰梯形，求此几何体的体积和表面积20解：体积 2分依题意的侧面等腰梯形的高4分表面积 6分21.（本题满分8分）已知正方体,是线段上的异于端点的点，设.（1）当是中点时，异面直线所成角的正切值;第21题 （2）求证：面.21.解：（1）,锐角即为异面直线所成角 2分即为所求。 4分（2）由,知,同理有,，6分,又面,面,面. 8分22（本题满分8分）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得
8、到如图2所示的四棱锥,其中.(1) 证明:平面; (2)求与平面所成角的正弦值.图1图2.CDOBEH22(1) 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 2分同理可证, 又,所以平面. 4分(2) 过作交的延长线于,连结, 平面,面面面,面,即为与平面所成角. 6分又,与平面所成角的正弦值为. 8分23.(本题满分9分)如图，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积最大时二面角的大小的余弦值.23.（1）证明：（1）证明：平面，平面.，又为斜边，又，平面, 2分又面,面平面. 3分（2）解：在中，设，则，当时取等号。时三棱锥的体积最大， 5分取中点，则,平面，面，做于,连接则面为二面角的平面角。 7分又, 9分24.（本题满分9分）设，且，为常数 （1）当时，求的最大值； （2）若对任意，以为三边长总能构成三角形，求的取值范围24.解：（1） .2分，当时去等号，的最大值是1 .4分（2） ，即对恒成立 对恒成立 .6分(去等号)， 又，综上得：。 .9分