1、第11节利用导数研究函数的单调性1函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0(或f(x)0是f(x)为增函数的充要条件( )(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”( )(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内为常数函数( )(4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样( ) 答案： (1)(2)(3)(4)小题查验1如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函
2、数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析：A当x(3,0)时，f(x)0，所以f(x)在(0,2)上单调递增3(2019和平区模拟)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y(xx02)x(y0xx2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为( )A(2,1) B(1,2)C(，2) D(1，)解析：A由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y(xx02)x(y0xx2x0)，知f(x)的导数为f(x)x2x2，令f(x)0，解得：2x1，故选A.4(教材改编)函
3、数f(x)exx的减区间为_.答案：(，0)5已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_.解析：f(x)3x2a0，即a3x2，又x1，)，a3，即a的最大值是3.答案：3考点一利用导数判断或证明函数的单调性(师生共研)逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法典例(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解析(1)f(x)(12
4、xx2)ex，令f(x)0得x1，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)和(1，)单调递减，在(1，1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex，当a1时，设函数h(x)(1x)ex，h(x)xex0(x0)，因此h(x)在0，)单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a1时，设函数g(x)exx1，g(x)ex10(x0)，所以g(x)在0，)单调递增，而g(0)0，故exx1.当0x1时，f(x)(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,
5、1)，(1x0)(1x0)2ax00，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围1，)导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)下结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论跟踪训练已知函数f(x)x22aln x(a2)x，当a0时，讨论函数f(x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)xa2.当a2，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)内递增当0a2，即2a0时，0
6、xa或x2时，f(x)0；ax2时，f(x)0，f(x)在(0，a)，(2，)内递增，在(a,2)内递减当a2，即a2时，0x2或xa时，f(x)0；2xa时，f(x)0，f(x)在(0,2)，(a，)内递增，在(2，a)内递减综上所述，当a2时，f(x)在(0，)内递增；当2a0时，f(x)在(0，a)，(2，)内递增，在(a,2)内递减；当a2时，f(x)在(0,2)，(a，)内递增，在(2，a)内递减考点二利用导数求函数的单调区间(师生共研)典例已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析
7、(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，解得x1或x5，因x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数用导数法求可导函数单调区间的一般步骤：跟踪训练设f (x)xln xax2(2a1)x，aR，令g(x)f (x)，求g(x)的单调区间解：由f (x)lnx2ax2a，得g(x)ln x2ax2a，x(0，)则g(x)2a.若a0，当x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；若a0，当x时，g(x)0，
8、函数g(x)单调递增，当x时，g(x)0时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.1函数y(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0)B(0，)C(，3)和(1，) D(3,1)解析：Dy2xex(3x2)exex(x22x3)，由y0x22x303xf(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)解析：C依题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又abf(b)f(a)4(2020宣城市二模)若函数f(x)x32ax2(a2)x5
9、恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为( )A1a2 B2a1Ca2或a1 Da1或a2解析：D若函数f(x)有3个单调区间，则f(x)4x24ax(a2)有2个零点，故16a216(a2)0，解得a1或a2，故选D.5(2020咸阳市模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，对任意xR满足f(x)f(x)0，则下列结论正确的是( )Ae2f(2)e3f(3) Be2f(2)e3f(3)Ce2f(2)e3f(3) De2f(2)e3f(3)解析：A令g(x)exf(x)，则g(x)ex(f(x)f(x)0，g(x)单调递减，g(2)g(3)，e2f(2)e3f(3)，故选A.6(
10、2020呼和浩特市模拟)若函数f(x)ln xax22x在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_.解析：f(x)2ax2，若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间，则f(x)0在x(1,2)有解，故a，令g(x)，g(x)在(1,2)为减函数，g(x)g(1)1，故a.答案：7函数f(x)的单调递增区间是_.解析：由导函数f(x)0，得cos x，所以2kx2k(kZ)，即函数f(x)的单调递增区间是(kZ)答案：(kZ)8已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_.解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，
11、则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.答案：(0,1)(2,3)9已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解：(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)10(2020渭南市模拟)已知函数f(x)x(ln xax1)ax1(1)若f(x)在1，)上是减函数，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的最大值为2，求实数a的值解：(1)因为f(x)在1，)上是减函数，所以f(x)0在1，)恒成立，即f(x)ln x2ax2a0，a，设g(x)，则g(x)，x1，g(x)0，g(x)在1，)上递增，又g(1)2，故a2.(2)由f(1)2，要使f(x)max2，故f(1)为f(x)的一个极大值f(1)0，即ln 12a2a0，a2.