1、系列丛书 进入首页第八章 平面解析几何第八章 平面解析几何第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第六节双曲线第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用3理解数形结合的思想第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一 双曲线的定义平 面 内 动 点 P 与 两 个定 点
2、 F1，F2(|F1F2|2c0)的 距 离_为常数 2a(2a2c)，则点 P 的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距答案之差的绝对值第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1判断正误(1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()答案：(1)(2)第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2设 P 是双曲线 x216y2201 上一点，F1，F2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|
3、9，则|PF2|等于()A1 B17C1 或 17 D以上答案均不对解析：由题意知|PF1|90，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)范围xa 或 xa，yRxR，ya，ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1_，A2_性质渐近线ybax_第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0
4、)离心率eca，e_，其中 ca2b2性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|_；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2_(ca0，cb0)第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2.等轴双曲线_和_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_，离心率为_答案1(0，a)(0，a)yabx(1，)2a a2b22实轴 虚轴 yx e 2第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3双曲线方程：x2|k|2 y25k1，那么 k 的范围是()
5、Ak5B2k5C2k2D2k5解析：由题意知，(|k|2)(5k)0，解得2k5.答案：D第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4(2016新课标全国卷)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2a2y2b21的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sinMF2F113，则 E 的离心率为()A.2 B.32 C.3 D2第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线方程，得c2a2y2b21，所以y2b2c2a21b2a2，所以 yb2a.因为 sinMF2F113，所以 tanMF2F1|
6、MF1|F1F2|b2a2c b22acc2a22ac c2a a2ce2 12e 24，所以e2 22e10，所以 e 2.故选 A.答案：A第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）5(选修 21P61 练习第 3 题改编)以椭圆x24 y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_解析：设要求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由椭圆x24y23 1，得焦点为(1,0)，顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以 a1，c2，所以 b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y231.答案：x2y231第八章第六节系列丛书 进入
7、首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 双曲线的定义及应用【例 1】已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，A(1,4)，P 在双曲线右支上运动，则|PF|PA|的最小值为_第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为 E，则 E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4，则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得，当 A，P，E 三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为 9.【答案
8、】9第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)已知 F1、F2 为双曲线 C：x2y22 的左、右焦点，点 P在 C 上，|PF1|2|PF2|，则 cosF1PF2()A.14B.35C.34D.45第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版
9、数学（文）(2)设椭圆 C1 的离心率为 513，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C2 的标准方程为()A.x242y2321B.x2132y2521C.x232y2421D.x2132 y21221第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)由 x2y22，知 ab 2，c2.由双曲线定义，|PF1|PF2|2a2 2，又|PF1|2|PF2|，|PF1|4 2，|PF2|2 2，在PF1F2 中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F
10、2|22|PF1|PF2|34.(2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5,0)，设曲线 C2 上的一点 P，则|PF1|PF2|80，b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2xy0 垂直，则双曲线的方程为()A.x24 y21Bx2y241C.3x220 3y25 1 D3x25 3y2201第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】由题意得 c 5，ba12，则 a2，b1，所以双曲线的方程为x24 y21.【答案】A第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】求双曲线的标准方程的方法(1)定
11、义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定 2a,2b 或 2c，从而求出 a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2 的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2y2n2(0)，再根据条件求 的值.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点与圆 x2y210 x0 的圆心重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的标准方程为()A.x25 y2201B.x225y2201C.x220y25 1D
12、.x220y2251第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为 y12x，则该双曲线的标准方程为_解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即 c5，又 eca 5，所以 a25，b220，所以双曲线的标准方程为x25y2201.(2)法 1：双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过点(4，3)，164(3)24，双曲线的标准方程为x24 y21.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）法 2：渐近线 y12x 过点(4,2)，而 30，b0)由已知条件可得ba12，
13、16a2 3b21，解得a24，b21，双曲线的标准方程为x24 y21.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）答案：(1)A(2)x24y21第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三 双曲线的几何性质考向 1 求双曲线的离心率【例 3】(2016山东卷)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_【解析】如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2.设 AB，CD 的中点分别为 M，N，则在 RtBMN 中，|M
14、N|2c2，故|BN|BM|2|MN|23222252.由双曲线的定义可得 2a|BN|BM|52321，而 2c|MN|2.所以双曲线的离心率 e2c2a2.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【答案】2第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）考向 2 求双曲线的渐近线【例 4】已知 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是()A.2xy0Bx 2y0Cx2y0D2xy0第八章第六节系列丛书 进入首页
15、 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2 中，|F1F2|2c，而 ca，所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230，所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos30，得 c3a，所以 b c2a2 2a.所以双曲线的渐近线方程为 ybax 2x，即 2xy0.【答案】A第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）考向 3 求变量的取值范围【例 5】已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22 y21 上的一点，
16、F1，F2 是 C 的两个焦点若MF1 MF2 0，则 y0 的取值范围是()A.33，33B.36，36C.2 23，2 23D.2 33，2 33第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】由题意知 a 2，b1，c 3，F1(3，0)，F2(3，0)，MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，y0)MF1 MF2 0，(3x0)(3x0)y200，即 x203y200.点M(x0，y0)在双曲线上，x202 y201，即 x2022y20，22y203y200，33 y00，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kba满足关系式 e21k2.(2)求双曲
17、线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2 和 eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)(2017安徽合肥质检)若双曲线 C1：x22 y281 与 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线 C2 的焦距为 4 5，则 b()A2 B4 C6 D8第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C的渐近线方程
18、为()Ay14xBy13xCy12xDyx第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(3)(2017江西名校学术联盟一调)设 A1，A2 分别为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点，若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率 kMA1 kMA2 2，则双曲线 C 的离心率的取值范围为()A(0，3)B(1，3)C(3，)D(0,3)第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)由题意，得ba2b2a，C2 的焦距 2c4 5ca2b22 5b4，故选 B.(2)由题意得，eca 52 c 52 a54a2a2b2b12a，故渐近
19、线方程为 ybax12x，故选 C.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(3)设 M(x，y)，A1(a,0)，A2(a,0)，则 kMA1 yxa，kMA2 yxa，kMA1 kMA2 y2x2a2(*)又 M(x，y)在双曲线x2a2y2b21 上，y2b2x2a21，代入(*)式得，b2x2a2b2a2x2a2b2a22，即c2a2a2e2121e 3.答案：(1)B(2)C(3)B第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接法或待定系数法求
20、曲线方程”，“数形结合”等但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩复习中要注意如下两个问题：第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为 axby0时，可设双曲线方程为 a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定 的值，此方法的实质是待定系数法第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 53（点击进入）第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）忽视“判别式”致误【例】已知双曲线 x2y221，过点 P(1,1)能
21、否作一条直线 l，与双曲线交于 A、B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？【分析】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段 AB 的中点为(x0，y0)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题意设经过点 P 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 ykx1k，由ykx1k，x2y22 1，得(2k2)x22k(1
22、k)x(1k)220(2k20)x0 x1x22k1k2k2.第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）由题意，得k1k2k2 1，解得 k2.当 k2 时，方程成为 2x24x30.162480，方程没有实数解不能作一条直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，且点 P(1,1)是线段 AB 的中点第八章第六节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解题策略：1本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.2本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出 AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率 k，利用待定系数法求方程.3求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.