1、吴淞中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷一填空题（共12小题）1函数的定义域是2在等差数列中，为其前项的和，若，则3已知直线的倾斜角为，则的取值范围是4若，则实数的值是5用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为 6在三棱柱中，点是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，则7的展开式的常数项是8设函数，则函数的单调递增区间为9双曲线的右焦点到直线的距离为10一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，
2、经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为11已知函数，则满足的的取值范围是（用区间表示）12设是由满足下列性质的函数构成的集合：在函数的定义域内存在，使得成立，已知下列函数：；其中属于集合的函数是（写出所有满足要求的函数的序号）二选择题（共4小题）13若，是不同的直线，是不同的平面，则下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则，正确的个数为A0B1C2D314某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是A327B937C387D108715已知向量，满足，则，A
3、BCD16对于函数，若，（a），（b），（c）为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A，B，C，D，三解答题（共5小题）17已知正三棱柱的所有边长均为1（）计算正三棱柱的表面积和体积；（）求直线与平面所成角的大小18已知（1）若，求的取值范围；（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围19已知复数、满足、，且，求与的值20已知，点是圆上一动点，动点满足，点在直线上，且（1）求点的轨迹的标准方程；（2）已知点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，记点，到直线的距离分别为，求的最大值，并求出此时点的坐标21设数列，的各项均为正整数，且
4、若对任意，4，存在正整数，使得，则称数列具有性质（）判断数列，2，4，7与数列，2，3，6是否具有性质；（只需写出结论）（）若数列具有性质，且，求的最小值；（）若集合，2，3，2019，且（任意，2，求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列吴淞中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷参考答案与试题解析一填空题（共12小题）1【解答】解：由，即，解得，定义域为故答案为：2【解答】解：在等差数列中，为其前项的和，由等差数列的性质得：，是等差数列，且首项为12，公差为，故答案为：1443【解答】解：直线的倾斜角为，当时，不存在，当时，综上，的取值范围是，故
5、答案为：，4【解答】解：，且且，解得：故答案为：5【解答】解：当十位上的数为0时，由4312个“凹数”，当十位上的数为1时，由326个“凹数”，当十位上的数为2时，由212个“凹数”，故共有12+6+220个凹数”故答案为：206【解答】解：在三棱柱中，点是棱上一点，记三棱柱与四棱锥的体积分别为与，设，的高为，三棱柱的高为，则，故答案为：7【解答】解：而项式，故它的展开式的常数项为，故答案为 38【解答】解：函数，令，解得：，故函数的递增区间是，故答案为：，9【解答】解：双曲线的右焦点，所以右焦点到直线的距离为故答案为：10【解答】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有种取法，满足三种颜色
6、的球均取到的取法有种，三种颜色的球均取到的概率为，故答案为：11【解答】解：，且，则在上单调递增，由得，解得，的取值范围是：故答案为：12【解答】解：对于，对于函数，其定义域为令，得，显然是其一解，故函数是属于集合的函数；对于，对于函数，其定义域为，令，得方程，得，解得故函数是不属于集合的函数；对于，对于函数，其定义域为，令，得方程，化简得，得，显然此方程无实数解，故函数是不属于集合的函数；对于，对于函数，其定义域为，令，得方程，得，得，显然此方程也无实数解，故函数是不属于集合的函数综上，属于集合的函数是故答案为：二选择题（共4小题）13【解答】解：若，则不成立，也有可能是平行的；故错误，若，
7、则不成立，有可能相交；故错误，若，则；正确，当，时，成立，故正确，若，则不成立，也有可能是相交，故错误，故正确是，故选：14【解答】解：依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为：，1，所以327不符合故选：15【解答】解：向量，满足，可得，故选：16【解答】解：由题意可得（a）（b）（c）对于，都恒成立，由于，当，此时，（a），（b），（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件当，在上是减函数，（a），同理（b），（c），故（a）（b）再由（a）（b）（c）恒成立，可得，结合大前提，解得当，在上是增函数，（a），同理（b），（c），由（a）（b）（c），
8、可得，解得综上可得，故选：三解答题（共5小题）17【解答】解：（）如图所示，正三棱柱的所有边长均为1所以该三棱柱的表面积为；体积为；（）三棱柱，底面，所以是直线与平面所成的角，又，所以，即与平面所成的角为18【解答】解：（1）函数，则，由，可得，解得，所以的取值范围为；（2）方程有解等价于有解，令，则，令，解得，当时，故单调递增，当时，故单调递减，所以的最小值为，故，所以实数的取值范围为，19【解答】解：设复数、满足在复平面上对应的点为、，由于、，且，所以，且，即，故以，为邻边的平行四边形为矩形，从而，则，20【解答】解：（1）由可知，为线段的中点，又，故是线段的垂直平分线，则，点在直线上，由
9、椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，另当点坐标为时，与重合，不符合题意，轨迹的标准方程为；（2）设，则曲线上点，处的切线的方程为，又切线过点，所以，同理可得，故直线的方程为，由弦长公式可得，直线的方程为，又，在直线两侧，令，则，当，即时，有最大值，此时点的坐标为21【解答】解：（），3，4，7不具有性质；，2，3，5具有性质，即数列 不具有性质，数列 具有性质（）由题意可知，若， 且，同理，数列各项均为正整数，数列前三项为 1，2，4数列具有性质， 只可能为 4，5，6，8 之一，而又，同理，有，此时数列为 1，2，4，8，16，32，64，128，200但数列中存在，
10、使得，该数列不具有性质，当时，取，2，4，8，16，32，36，64，100，200（构造数列不唯一），2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质，的最小值为10（）假设结论不成立，即对任意，2，都有：若正整数，则，否则，当 时， 是一个具有性质 的数列；当 时， 是一个具有性质 的数列；当时， 是一个具有性质的函数由题意可知，这6 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于 337 个，不妨设此集合为，从 中取出 337 个数，记为， 且，令集合，2，由假设，对任意，2，336，在， 中至少有一个集合包含 中的至少 68 个元素，不妨设这个集合为，从 中取出 68 个数，记为，且，令集合，2，由假设，对任意，2，68，存在，2， 使得，对任意，由假设，在， 中至少有一个集合包含 中的至少 17 个元素，不妨设这个集合为，从 中取出 17 个数，记为，且，令集合，2，由假设，对任意，2，17，存在，2，使得，对任意，同样，由假设可得，同样，在， 中至少有一个集合包含 中的至少 3 个元素，不妨设这个集合为，从 中取出3 个数，记为，且，同理可得，由假设可得，同上可知，而又，矛盾假设不成立，原命题得证