1、15.3 互斥事件和独立事件第1课时 互斥事件的概率基础认知自主学习1互斥事件的概念(1)互斥事件：事件 A 与 B_发生，这时，我们称 A，B 为互斥事件(2)对立事件：互斥事件 A，C 中必有一个发生，这时，我们称 A，C 为对立事件，记作 C A 或 A C.不可能同时2互斥事件的概率(1)互斥事件的概率：如果事件 A，B 互斥，那么事件 AB 发生的概率，等于事件 A，B 分别发生的概率的和，即 P(AB)P(A)P(B).(2)互斥事件概率的推广如果事件 A1，A2，An 中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件 A1，A2，An 两两互斥如果事件 A1，A2，An 两两互斥，那么P(
2、A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).3随机事件概率的性质(1)P(A)1P(A)；(2)当 AB 时，P(A)P(B)；(3)当 A，B 不互斥时，P(AB)P(A)P(B)P(AB).1打靶 3 次，事件 Ai 表示“击中 i 发”，其中 i0，1，2，3.那么 AA1A2A3 表示()A全部击中B至少击中 1 发C至少击中 2 发D以上均不正确【解析】选 B.A1A2A3 所表示的含义是 A1，A2，A3 这三个事件中至少有一个发生，即可能击中 1 发、2 发或 3 发2设事件 A，B，已知 P(A)14，P(B)13，P(AB)712，则 A，B 之间的关系一定为()A互斥事件
3、B两个任意事件C非互斥事件D对立事件【解析】选 A.因为 P(A)14，P(B)13，P(AB)712，所以有 P(AB)P(A)P(B)1，因此事件 A，B 是互斥事件，不是对立事件3若 A，B 为互斥事件，P(A)0.4，P(AB)0.7，则P(B)_【解析】因为 A，B 为互斥事件，所以 P(AB)P(A)P(B)，所以 P(B)P(AB)P(A)0.70.40.3.答案：0.34从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于 200 克的概率为 0.2，质量在200，300内的概率为 0.5，那么质量超过 300 克的概率为_【解析】设质量超过 300 克的概率为 P，因为质量小于 200 克的
4、概率为 0.2,质量在200，300内的概率为 0.5，所以 0.20.5P1，所以 P10.20.50.3.答案：0.35某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件 A：命中环数大于 7 环；事件 B：命中环数为 10 环；事件 C：命中环数小于 6 环；事件 D：命中环数为 6，7，8，9，10 环【解析】事件 A“命中环数大于 7 环”包括“命中 8 环，命中 9 环，命中 10 环”；事件C“命中环数小于 6 环”包括“命中 0 环，命中 1 环，命中 2 环，命中 3 环，命中 4 环，命中 5 环”所以事件 A 与事件 C 为互斥事件，事件 B 与事件
5、C 为互斥事件，事件 C 与事件 D是对立事件学情诊断课时测评一、单选题1若事件 A 和 B 是互斥事件，且 P(A)0.1，则 P(B)的取值范围是()A0，0.9 B0.1，0.9C(0，0.9 D0，1【解析】选 A.由于事件 A 和 B 是互斥事件，则 P(AB)P(A)P(B)0.1P(B)，又 0P(AB)1，所以 00.1P(B)1，所以 0P(B)0.9.2从四双不同的鞋中任意取出 4 只，事件“4 只全部不成对”与事件“至少有 2 只成对”()A是对立事件B不是互斥事件C是互斥但不对立事件D都是不可能事件【解析】选 A.从 4 双不同的鞋中任意取出 4 只，可能的结果为：“恰
6、有 2 只成对”“4只全部成对”“4 只都不成对”，故事件“4 只全部成对”的对立事件为“恰有 2 只成对”“4 只都不成对”“至少有两只成对”所以事件“4 只全部不成对”与事件“至少有 2 只成对”是对立事件3从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设 A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中错误的是()AA 与 C 互斥BB 与 C 互斥C任何两个都互斥D任何两个都不互斥【解析】选 D.由题意知事件 A，B，C 两两不可能同时发生，因此两两互斥4将一个骰子抛掷一次，设事件 A 表示向上的一面出现的点数不超过 2，事件 B 表示向上的一面出
7、现的点数不小于 3，事件 C 表示向上的一面出现奇数点，则()AA 与 B 是对立事件BA 与 B 是互斥而非对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件【解析】选 A.事件 A 包含的基本事件为向上的点数为 1，2；事件 B 包含的基本事件为向上的点数为 3，4，5，6；事件 C 包含的基本事件为向上的点数为 1，3，5；由于事件 A，B 不可能同时发生，且事件 A，B 的和事件为必然事件，所以 A 与 B是对立事件当向上一面的点数为 3 时，事件 B，C 同时发生，则 B 与 C 不互斥也不对立5已知随机事件 A 和 B 互斥，且 P(AB)0.7，P(B)0.2，则
8、P(A)()A0.5 B0.1 C0.7 D0.8【解析】选 A.因为事件 A 和 B 互斥，所以 PABP(B)P(A)0.7，则 P(A)0.70.20.5，故 PA1P(A)0.5.6盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出 2 个球都是红球的概率为 328，从盒中取出 2 个球都是黄球的概率是 514，则从盒中任意取出 2 个球恰好是同一颜色的概率是()A1328 B57 C1528 D37【解析】选 A.设“从中取出 2 个球都是红球”为事件 A；“从中取出 2 个球都是黄球”为事件 B；“任意取出 2 个球恰好是同一颜色”为事件 C，则 CAB，且事件 A 与B 互斥，所以 P(C
9、)P(A)P(B)328 514 1328，即任意取出 2 个球恰好是同一颜色的概率为1328.二、多选题7下列命题：对立事件一定是互斥事件；若 A，B 为两个随机事件，则 P(AB)P(A)P(B)；若事件 A，B，C 彼此互斥，则 P(A)P(B)P(C)1；若事件 A，B 满足 P(A)P(B)1，则 A 与 B 是对立事件其中不正确的选项是()A B C D【解析】选 BCD.A 中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确的；B 中，当 A 与 B 是互斥事件时，才有 P(AB)P(A)P(B)，对于任意两个事件 A，B 满足 P(AB)P(A)P(B)P(AB)，所以是不正确的；C
10、 不正确P(A)P(B)P(C)不一定等于 1，还可能小于 1；D 不正确例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿 4 个球，从袋中任摸一个球，设事件 A摸到红球或黄球，事件 B摸到黄球或黑球，显然事件 A 与 B 不互斥，但 P(A)P(B)12 12 1.8在一个试验模型中，设 A 表示一个随机事件，A 表示 A 的对立事件以下结论正确的是()AP(A)P(A)BP(A A)1C若 P(A)1，则 P(A)0DP(A A)0【解析】选 BCD.选项 A，由对立事件的性质 P(A)P(A)1,P(A)P(A)不一定正确；由对立事件的概念得 A A，即 P(A A)P()1，B 正确；由对立事件的
11、性质 P(A)P(A)1 知，P(A)1P(A)，故若 P(A)1，则 P(A)0，C 正确；由对立事件的概念得 A A，即 P(A A)P()0，D 正确三、填空题9事件 A，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且 P(A)2P(B)，则 P(A)_，P(B)_【解析】由题意得 P(A)P(B)125 35，因为 P(A)2P(B)，所以 P(A)25，P(B)15，所以 P(A)1P(A)35，P(B)1P(B)45.答案：35 45四、解答题10某职员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的
12、概率【解析】(1)记“他乘火车去”为事件 A1，“他乘轮船去”为事件 A2，“他乘汽车去”为事件 A3，“他乘飞机去”为事件 A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，故 P(A1A4)P(A1)P(A4)0.30.40.7.(2)设他不乘轮船去的概率为 P，则 P1P(A2)10.20.8.11受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3 年，乙品牌车保修期为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取 50辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：品牌甲乙首次出现故障的时间
13、x(年)0 x11x22x3x30 x11x2x2轿车数量(辆)213442345(1)从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率(将频率视为概率).【解析】(1)设 A，B，C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第 1 年，第 2 年和第 3年之内，设 D 表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，因为 A，B，C 是互斥的，其概率分别为 P(A)250 125，P(B)150，P(C)350，所以 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)325，即首次出现故障发生在保修期内的概率
14、为 325.(2)乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为4550 910，故首次出现故障发生在保修期内的概率为 110.一、选择题1下列各组事件中，不是互斥事件的是()A一个射手进行一次射击，命中环数大于 8 与命中环数小于 6B统计一个班的数学成绩，平均分不低于 90 分与平均分不高于 90 分C同时投掷 3 枚硬币，恰有两枚正面向上与至多一枚正面向上D检验某种产品，合格率高于 70%与合格率低于 70%【解析】选 B.对于 B，设事件 A1 为平均分不低于 90 分，事件 A2 为平均分不高于 90分，则 A1A2 为平均分等于 90 分，A1，A2 可能同时发生，故它们不是互斥事
15、件2口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出 2 个球两个球都是红球的概率是25，都是黑球的概率是 115，则取出的 2 个球中恰好一个红球一个黑球的概率是()A 715 B 815 C35 D1415【解析】选 B.由题意知，从袋中取出 2 个球的所有可能情况为 2 个都是红球，2 个都是黑球，1 个红球和 1 个黑球由互斥事件的概率公式可得，取出的 2 个球中恰好一个红球一个黑球的概率是 125 115 815.3(多选)下列说法中正确的是()A若事件 A 与事件 B 是互斥事件，则 P()AB0B若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 P()AB1C某人打靶时连续射击三次，则事件“至
16、少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D把红、橙、黄 3 张纸牌随机分给甲、乙、丙 3 人，每人分得 1 张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件【解析】选 ABC.事件 A 与事件 B 互斥，则不可能同时发生，所以 P()AB0，A正确；事件 A 与事件 B 是对立事件，则事件 B 即为事件 A，所以 P()AB1，B 正确；事件“至少两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，C 正确；“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，D 错误二、填空题4口袋内装有一些大小相
17、同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0.42，摸出白球的概率是 0.28，那么摸出红球或黑球的概率是_【解析】因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是 10.420.280.3.所以摸出红球或黑球的概率是 0.420.30.72.答案：0.725已知两个事件 A 和 B 互斥，记事件 B 是事件 B 的对立事件，且 P(A)0.3，P(B)0.6，则 P(AB)_【解析】由 PB0.6 得 P(B)0.4，且事件 A 与 B 互斥，则 PABP(A)P(B)0.7.答案：0.76甲射击一次，中靶概率是 p1，乙射击一次，中靶概率是 p2，已知 1
18、p1，1p2 是方程x25x60 的根，且 p1 满足方程 x2x14 0.则甲射击一次，不中靶概率为_；乙射击一次，不中靶概率为_【解析】由 p1 满足方程 x2x14 0 知 p12p114 0，解得 p112，因为 1p1，1p2是方程 x25x60 的根，所以 1p1 1p2 6，解得 p213，所以甲射击一次不中靶的概率为 112 12，乙射击一次不中靶的概率为 113 23.答案：12 237对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设 A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一枚炮弹击中飞机，D至少有一枚炮弹击中飞机，其中为互斥事件的是_；为对立事件的是_【解析】由于事件 A 与
19、B 不可能同时发生，故 A 与 B 是互斥事件；同理可得，A 与C，B 与 C，B 与 D 也是互斥事件综上可得，A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 都是互斥事件在上述互斥事件中，再根据 B，D 满足 BD 为必然事件，故 B 与 D是对立事件答案：A 与 B、A 与 C，B 与 C、B 与 D B 与 D三、解答题8现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3 通晓日语，B1，B2，B3 通晓俄语，C1，C2 通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组(1)求 A1 被选中的概率；(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率【解析】(1)从 8
20、人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件空间(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由 18 个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件
21、，则 M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)618 13.(2)用 N 表示“B1，C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1，C1 全被选中”这一事件，由于 N(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件 N 由 3 个基本事件组成，所以 P(N)318 16，由对立事件的概率公式得 P(N)1P(N)116 56.9在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏抽奖箱中共有 12 张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种
22、从中任取一张，不中奖的概率为12，中二等奖或三等奖的概率是 512.(1)求任取一张，中一等奖的概率；(2)若中一等奖或二等奖的概率是14，求任取一张，中三等奖的概率【解析】设任取一张，中一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为 A，B，C，D，它们是互斥事件由条件可得 P(D)12，P(BC)P(B)P(C)512.(1)由对立事件的概率公式知 P(A)1P(BCD)1PBCP(D)1 51212 112，所以任取一张，中一等奖的概率为 112；(2)因为 P(AB)14，而 PABP(A)P(B)，所以 P(B)14 112 16，又PBCP(B)P(C)512，所以 P(C)14，所以任取一张，中三等奖的概率为14.