1、第三课不等式核心速填1不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性abba传递性ab，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbc同向可加性acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)2.一元二次不等式的解法：设方程ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，(1)若x1x2，则不等式ax2bxc0的解集为x|xx1，或xx2，ax2bxc0的解集为x|x2xx1(2)若x1x2，则不等式ax2bxc0的解集为x|xR且xx1，ax2bxc0的解集为.3基本不等式(1)基本不等式：(2)成立的条件：a0，b0(3)等号成立
2、的条件：ab4线性规划问题的解题步骤(1)把问题要求转化为约束条件；(2)根据约束条件作出可行域；(3)对目标函数变形并解释其几何意义；(4)移动目标函数寻找最优解；(5)解相关方程组求出最优解体系构建题型探究不等式性质的应用(1)已知2a3，2b1，求ab，的取值范围. 【导学号：91022295】(2)已知a0，b0，且ab，比较与ab的大小解(1)由2a3，2b1得3a2,2b1，故6ab2，又1b24，故2.(2)法一(作差法 )：(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)，因为a0，b0且ab，所以(ab)0，即ab.法二(作商法)：(ab)(ab)1，因为a0，b0且ab，所以a2b
3、22ab，故1211.即ab.规律方法 不等式比较大小的常用方法(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果(2)作商比较法：常用于分数指数幂的代数式(3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小(4)分子分母有理化(5)利用中间量跟踪训练1设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“”连接)解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx.答案zyx不等式的恒成立问题已知函数f(x)mx2mx6m，若对于m1,3，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围. 【导学号：91022296】解设g(m)f(x)m
4、x2mx6m(x2x1)m6.由题意知g(m)0对m1,3恒成立x2x10，g(m)是关于m的一次函数，且在1,3上是单调增函数，g(m)0对m1,3恒成立等价于g(m)max0，即g(3)0.(x2x1)360x2x10x，x的取值范围为.规律方法对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种(1)变更主元法：根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)分离参数法：若f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)恒成立，则f(a)g(x)max.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.跟踪训练2设f(x)mx2mx6m.(1)
5、若对于m2,2，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解(1)依题意，设g(m)(x2x1)m6，则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数x2x10，g(m)在2,2上递增，欲使f(x)0恒成立，需g(m)maxg(2)2(x2x1)60，解得x取值范围为1x2.(2)法一：f(x)mm60在x1,3上恒成立，或或解得m.法二：要使f(x)m(x2x1)60在1,3上恒成立，则有m在x1,3上恒成立而当x1,3时，mmin，m.简单线性规划问题某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次A、B两种
6、车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2 400y在y轴上的截距最小，即z取得最小
7、值故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小规律方法 解线性规划问题的一般步骤(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线(4)求：通过解方程组求出最优解(5)答：作出答案跟踪训练3已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(答案用区间表示)解析作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示在可行域内平移直线2x3y0，当直线经过xy2与xy4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin23313；当直线经过x
8、y1与xy3的交点B(1，2)时，目标函数有最大值zmax21328，所以z3,8答案3,8利用基本不等式求最值探究问题1利用不等式的条件是什么？提示一正：即a0，b0；二定：ab为定值，ab有最大值；ab为定值，ab有最小值；三相等当且仅当ab时等号成立，三者缺一不可2设x0，y0，xy1，求xy的最大值，你有几种思路解决这个问题？提示法一(直接应用不等式)：xy，当xy时等号成立法二(消元法)：由xy1得y1x，则xyx(1x)，当x时等号成立法三(函数法)：由xy1得y1x，则xyx(1x)x2x，当x时等号成立已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是() 【导学号：91022
9、297】A3B4C D思路探究法一：通过分解因式，配凑出含x1与2y1的积的定值，利用基本不等式求解法二：利用条件，用x表示y代入x2y，配凑出积的定值，利用基本不等式求解法三：在条件x2y2xy8中配凑出双变量x与2y，利用基本不等式消去2xy，然后解二次不等式可解解析法一：依题意得，x11,2y11，易知(x1)(2y1)9，则(x1)(2y1)226，当且仅当x12y13，即x2，y1时，等号成立，因此有x2y4，所以x2y的最小值为4.法二：由题意得，x1，x2y12y12y11224，当且仅当2y13，即y1时，等号成立法三：由x2y2xy8得x2y(x2y)2x2y2xy8，即(x
10、2y)24(x2y)320，所以(x2y)8(x2y4)0，因为x0，y0，所以x2y40，即x2y4，当且仅当x2，y1时等号成立答案B母题探究：1.(变结论)例4的条件不变，求xy的最大值解因为x2y2，且x2y2xy8，所以22xy8，即()240故(2)()0，又0，故0.所以xy2，当且仅当x2y，即x2，y1时等号成立即xy的最大值为2.母题探究：2.(变条件)例4的条件变为：已知x0，y0，x2yxy0，求x2y的最小值解由x2yxy0得x2yxy，1，故x2y(x2y)4428，当且仅当，即x4，y2时等号成立规律方法1利用基本不等式求最值(1)常见的最值问题一般用ab2(a0，b0)解“积为定值，和的最小值”，用ab2解“和为定值，积的最大值”(2)在具体应用过程中要注意“一非负，二定值，三相等”，还要注意利用拆项，添项，配凑，分离变量，代换减元等方法2条件不等式的最值问题的解题策略(1)对于条件的使用是此类问题的关键，常用的方法有代入法、“1”的代换等，解题还要注意在变形的过程中字母取值的限制，否则可能影响取等号时字母的取值(2)对于要求最值的式子的变形也至关重要，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号必须取到，否则此种变形就是错误的
