1、1.设a2，b2，c52，则a，b，c之间的大小关系是_解析：分别由a0，c0，再由b2c20得bba2设a，bR，若a2b25，则a2b的最大值为_解析：由柯西不等式得(a2b2)(1222)(a2b)2，因为a2b25，所以(a2b)225.答案：53已知x24y2kz236(其中k0)且txyz的最大值是7，则k_.解析：由柯西不等式得(x24y2kz2)(xyz)2，又tmax7，3649，k9.答案：94若不等式|a1|x2y2z，对满足x2y2z21的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由柯西不等式得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，由题意|a1
2、|3，a4或a2.答案：a4或a25已知a0，求证： a2.证明：要证原不等式成立，只需证2a，即证a244222，只需证，即证2a22，只需证a22.由基本不等式知a22，上式显然成立原不等式成立6已知x，y，z均为正数，求证：.证明：因为x，y，z均为正数，所以，同理可得，当且仅当xyz时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得.7已知x22y23z2，求3x2yz的最小值解析：(x22y23z2)2(3x2yz)2，(3x2yz)212，23x2yz2.当且仅当x，y，z时，3x2yz取最小值，最小值为2.8(2010江苏卷)设a，b是非负实数，求证：a3b3(a
3、2b2)证明：由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()50；所以a3b3(a2b2)9设xyz1，求F2x23y2z2的最小值【解析方法代码108001173】解析：由柯西不等式，1(xyz)22(2x23y2z2)(2x23y2z2)，F2x23y2z2，当且仅当，且xyz1，即x，y，z时，F有最小值.10已知a、b、c为正数，且满足acos2bsin2c.求证：cos2sin2.证明：由柯西不等式可得cos2sin2(cos )2(sin )2(cos2sin2)(acos2bsin
4、2)m时，求证：m，|x|a|，|x|b|，|x|1，112.2成立12已知nN*，求证：.【解析方法代码108001174】证明：k12n，Sn(352n1)(n22n)，故原不等式成立13求证：1k2k(k1)，k2，即，分别令k2,3，n得1；将上述不等式相加得：1，即1，12.14求三个实数x，y，z使得它们同时满足下列方程2x3yz13,4x29y2z22x15y3z82.解析：将两方程的左右两边分别相加，变形得(2x)2(3y3)2(z2)2108，由第一个等式变形得2x(3y3)(z2)18，于是由柯西不等式得，1821(2x)1(3y3)1(z2)2(121212)(2x)2(3y3)2(z2)23108182，由不等式中等号成立的条件可知：2x3y3z26，故原方程的解为：x3，y1，z4.
