1、2016-2017学年福建省福州外国语学校高三（上）适应性数学试卷（理科）（4）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若全集U=R，集合A=x|x2x20，B=x|log3（2x）1，则A（UB）=（）Ax|x2Bx|x1或x2Cx|x2Dx|x1或x22设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=12i，则的虚部为（）ABCD3阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（）ABCD4若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A3B4C5D65若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+2y的最大值是
2、（）A10B11C14D156已知点A（2，0），B（2，0），若圆（x3）2+y2=r2（r0）上存在点P（不同于点A，B）使得PAPB，则实数r的取值范围是（）A（1，5）B1，5C（1，3D3，57已知双曲线C：=1（a0，b0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A=1B=1Cx2=1Dy2=18三棱锥PABC中，已知APC=BPC=APB=，点M是ABC的重心，且+=9，则|的最小值为（）A2BCD29命题p：“|a|+|b|1”；命题q：“对任意的xR，不等式asinx+bcosx1恒成立”，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分
3、必要条件D既不充分也不必要条件10一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）AB+1C+D11从1，2，3，4，5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（）ABCD12已知f（x）=x23，g（x）=mex，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）ABCD（0，2e）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若f（x）=ex+aex为偶函数，则f（x1）的解集为14在一项田径比赛中，A、B、C三人的夺冠呼声最高，观众甲说：“我认为冠军不会是A，也不会是B”乙说：“我
4、觉得冠军不会是A，冠军会是C”丙说：“我认为冠军不会是C，而是A”比赛结果出来后，发现甲、乙、丙三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是15设，为单位向量，若满足|（+）|=|，则|的最大值为16对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，满足aR，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a4n+1的最大值为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）如图，在ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上（1）若ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，ACD的面积为
5、，求的值18（12分）语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望（附公式及表）若xN（，2），则P（x+）=0.68，P（2x+2）=0.9619（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC平面ABCD（）求异面直线PD与AC所成角的余弦值
6、；（）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由20（12分）已知点P是直线l：y=x+2与椭圆+y2=1（a1）的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C（）求椭圆C的标准方程及离心率；（）已知A，B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，m），N（0，n），试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由21（12分）已知函数f（x）=axx2bln（x+1）（a0），g（x）=exx1，曲线y
7、=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用a表示）；（2）若x0，g（x）f（x）+x2，求a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）等腰梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于点Q，AC平分DAB，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P（）求证：PQ2=PDPB（）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长选修4-4：坐标系与参数方程23选修44：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐
8、标系中，曲线C2的极坐标方程为cos2=sin（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k（1，时，求|OA|OB|的取值范围选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=x23x（）若+=1（，0），求证：f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；（）若对任意x1，x20，1，都有|f（x1）f（x2）|L|x1x2|，求L的最小值2016-2017学年福建省福州外国语学校高三（上）适应性数学试卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的
9、四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2016德州一模）若全集U=R，集合A=x|x2x20，B=x|log3（2x）1，则A（UB）=（）Ax|x2Bx|x1或x2Cx|x2Dx|x1或x2【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出集合B中的不等式的解集，确定出集合B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B补集与集合A的公共部分，即可求出所求的集合【解答】解：集合A=x|x2x20=x|x1或x2，log3（2x）1=log33，02x3，1x2，B=x|1x2，uB=x|x1或x2，A（UB）=x|x1或x2，故选：B【点评】此题考查了交
10、、并、补集的混合运算，是一道基本题型，求集合补集时注意全集的范围2（2016新余二模）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=12i，则的虚部为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的对称性求出z2，然后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=12i，z2=12i，则=复数的虚部为：故选：D【点评】本题考查复数的基本运算，复数的对称性，乘除运算，基本知识的考查3（2013安庆三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为（）ABCD【考点】循环结
11、构【专题】图表型【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到不满足条件输出s结束循环，得到所求【解答】解：经过第一次循环得到s=cos，不满足n3，n=2，执行第二次循环得到s=coscos，不满足n3，n=3，执行第三次循环得到s=coscoscos，满足判断框的条件执行“否”输出S=coscoscos又s=coscoscos=故选A【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律4（2016自贡校级模拟）若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）A3B4C5D6【考
12、点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）nr（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）nr（）r=Cnr=Cnr令6nr=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值5（2015潍坊模拟）若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+2y的最大值是（）A10B11C14D15【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及
13、应用【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，令z=|x|+2y，进一步求出目标函数z=|x|+2y的最大值【解答】解：满足约束条件的平面区域如图所示：z=|x|+2y表示一条折线（图中虚线），由得A（4，5）代入z=|x|+2y得z=|4|+25=14，当x=4，y=5时，|x|+2y有最大值14故选C【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解6（2016德州一模）已知点A（2，0），B（2，0），若圆（x3）2+y2=r2（r0）上存在点P（不同于点A，B）
14、使得PAPB，则实数r的取值范围是（）A（1，5）B1，5C（1，3D3，5【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆相交的性质；圆方程的综合应用【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心距为3，由两圆相交的性质可得|r2|3|r+2|，由此求得r的范围【解答】解：根据直径对的圆周角为90，结合题意可得以AB为直径的圆和圆 （x3）2+y2=r2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3，故|r2|3|r+2|，求得1r5，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆
15、的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题7（2016德州二模）已知双曲线C：=1（a0，b0）的焦距为2，抛物线y=x2+与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A=1B=1Cx2=1Dy2=1【考点】双曲线的简单性质【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得c=，即a2+b2=5，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为0，解方程可得a=2，b=1，进而得到双曲线的方程【解答】解：由题意可得c=，即a2+b2=5，双曲线的渐近线方程为y=x，将渐近线方程和抛物线y=x2+联立，可得x2x+=0，由直线和抛物线相切的条件，可得
16、=4=0，即有a2=4b2，解得a=2，b=1，可得双曲线的方程为y2=1故选：D【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题8（2016冀州市校级模拟）三棱锥PABC中，已知APC=BPC=APB=，点M是ABC的重心，且+=9，则|的最小值为（）A2BCD2【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】设，根据条件以及数量积公式，即可得到+=18，连接CM，延长之后交AB的中点D，连接PD，根据向量加法的几何意义及重心的性质便可得到，只要求出的最小值即可【解答】解：设，根据条件以及数量积公式，即可得到+=18，连接C
17、M，延长之后交AB的中点D，连接PD，D为AB中点，所以，所以|，+2=，因为，相加得到=18，所以，所以，所以；2；故选D【点评】本题考查向量数量积的计算公式，向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及基本不等式的应用9（2016蚌埠三模）命题p：“|a|+|b|1”；命题q：“对任意的xR，不等式asinx+bcosx1恒成立”，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；简易逻辑【分析】a=b=0时，
18、不等式asinx+bcosx1恒成立a与b不全为0时，不等式asinx+bcosx1化为：sin（x+），由于对任意的xR，不等式asinx+bcosx1恒成立”，可得1，化简即可判断出结论【解答】解：a=b=0时，不等式asinx+bcosx1恒成立a与b不全为0时，不等式asinx+bcosx1化为：sin（x+），对任意的xR，不等式asinx+bcosx1恒成立”，1，a2+b21，画出图象：可知：（a，b）表示的是以原点为圆心，1为半径的圆及其内部而|a|+|b|1可知：（a，b）表示的是正方形ABCD及其内部p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了三角函数求值、不等式的性质
19、、简易逻辑的判定方法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题10（2016吉林校级二模）一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）AB+1C+D【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合法；立体几何【分析】由三视图知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边是1，侧棱长是2，圆柱的底面半径是1，母线长是2，该几何体的体积V=+1，故选：B【点评】本
20、题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力11（2016蚌埠三模）从1，2，3，4，5中挑出三个不同数字组成五位数，则其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】综合题；分类讨论；综合法；概率与统计【分析】其中，选哪几个数，结果都一样，其概率是一样的，分别假设所取的数为1，2，3，第一种，有1个数字用了3次，第二种，其中有两个数字各用两次（即其中一个数字只使用1次），分别根据分类和分步计数原理求出每种情况，然后根据概率公式计算即可【解答】解：从1，2，3，4，5中挑出三个不同数字组成五位数，例如为
21、1，2，3，则有2种情况，第一种，有1个数字用了3次，第二种，其中有两个数字各用两次（即其中一个数字只使用1次），假设1用了3次，用分三类，当3个1都相邻时，有A33=6种，当3个1有2个1相邻时，有A33A21=12种，当3个1都不相邻时，有A22=2种，故共有6+12+2=20种，假设1用了1次，（2和3各用了2次），故有=30种，（其中，选哪几个数，结果都一样，其概率是一样的），故其中有两个数字各用两次（例如，12332）的概率为=故选：B【点评】本题考查了排列组合的古典概率的问题，关键是掌握分类和分步计数原理，属于中档题12（2016平度市模拟）已知f（x）=x23，g（x）=mex，
22、若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（）ABCD（0，2e）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0，y0），根据导数求出切点，即可求出m的值，结合图象可知m的取值范围【解答】解：设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x0，y0），f（x）=x23，g（x）=mex，f（x）=2x，g（x）=mex，f（x0）=g（x0），f（x0）=g（x0），2x0=，x023=，x0=x023，解得x0=3，或x0=1（舍去）当x0=3，6=me3，即m=，方程f（x）=g（x）有三
23、个不同的实根，由图象可知，0m，故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数与方程的思想，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（2016秋仓山区校级月考）若f（x）=ex+aex为偶函数，则f（x1）的解集为（0，2）【考点】函数奇偶性的性质【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质求出a的值，判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可【解答】解：f（x）=ex+aex为偶函数，f（x）=f（x），即ex+aex=ex+aex，则a=1，即f（x）=ex+ex，由f（x1）得ex1+e（x
24、1）=e+e1，即f（x1）f（1），即f（|x1|）f（1），又当x0时，f（x）=exex=0，即函数f（x）在0，+）上为增函数，则|x1|1，即1x11，解得0x2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件求出a的值，判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键14（2016秋仓山区校级月考）在一项田径比赛中，A、B、C三人的夺冠呼声最高，观众甲说：“我认为冠军不会是A，也不会是B”乙说：“我觉得冠军不会是A，冠军会是C”丙说：“我认为冠军不会是C，而是A”比赛结果出来后，发现甲、乙、丙三人中有一人的两个判断都对
25、，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是A【考点】归纳推理【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】通过假设甲、乙、丙的判断是否正确，推测结论是否符合题意，从而得出正确的答案【解答】解：假设甲的判断都对，冠军应是C班，那么乙的判断也都正确，这与题意矛盾，假设不成立；假设乙的判断都对，冠军是C班，那么假的判断也都正确，这与题意也矛盾，所以假设不成立；假设丙的判断都对，冠军是A班，那么甲的判断一对一错，乙的判断都错，满足题意，假设成立所以，冠军是A班故答案为：A【点评】本题考查了逻辑与推理的应用问题，解题时应通过假设，得出与题意相符合的结论，是基础题目1
26、5（2016秋仓山区校级月考）设，为单位向量，若满足|（+）|=|，则|的最大值为2【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用【分析】由题意可得|+|+|，故当且仅当时，|+|+|取得最小值为2，从而求得|的最大值【解答】解：设，为单位向量，若满足|（+）|=|+|，即|+|+|，当且仅当时，|+|+|取得最小值为2，|的最大值为2，故答案为：2【点评】本题主要考查了向量模的运算性质、向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质的运用，属于中档题16（2016松江区二模）对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，满足aR，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+
27、3+a4n+1的最大值为【考点】数列的求和【专题】整体思想；判别式法；等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的关系整理得S=（2n+1）a3n+1，由a=R，根据0，化简可得到S【解答】解：数列an等差数列，a2n+1+a4n+1=a2n+2+a4n=2a3n+1，S=（2n+1）a3n+1，a=R，化简得：8dna3n+1+10n2d2R0，关于d的二次方程，10n2d28dna3n+1+R0，有解，=40n2（R）0，化简得：810+5R0，S故答案为：【点评】本题考查求等差数列的和，利用判别式判断二次函数的最大值，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过
28、程或演算步骤.）17（12分）（2016福建模拟）如图，在ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上（1）若ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，ACD的面积为，求的值【考点】解三角形【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形【分析】（1）ABD中，由正弦定理可得AD的长；（2）利用BD=2DC，ACD的面积为，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，利用正弦定理可得结论【解答】解：（1）ABC中，cosB=，sinB=ADC=，ADB=ABD中，由正弦定理可得，AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，BD=2DC，ACD的面积为，4=，a=2AC=4，由正弦定理可得，sinBAD=
29、sinADB=，sinCAD=sinADC，sinADB=sinADC，=【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（12分）（2016辽宁校级模拟）语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望（附公式及表）若xN（，2），则P（x+）=0.68，P（2x+2）=0.96【
30、考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）先求出语文成绩特别优秀的概率和数学成绩特别优秀的概率，由此能求出语文和数学两科都特别优秀的人的个数（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）语文成绩服从正态分布N（100，17.52），语文成绩特别优秀的概率为p1=P（X135）=（10.96）=0.02，数学成绩特别优秀的概率为p2=0.0016=0.024，语文特别优秀的同学有5000.02=10人，数学特别优秀的同学有5000.024=
31、12人（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为：x0123PE（X）=【点评】本题考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用19（12分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC平面ABCD（）求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC
32、所成的角为90？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【专题】转化思想；向量法；空间角【分析】（）建立空间直角坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（）求出平面的法向量，根据平面BFD与平面APC所成的角为90，建立方程关系进行求解判断即可【解答】解：（） 因为平面PBC平面ABCD，底面ABCD是菱形，ABC=60，故AB=BC=AC=PC=PB=2，取BC中点O，则AOBC，POBC，POAO以O为坐标原点，OP为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，），B（0，1，0），C
33、（0，1，0），P（，0，0），D（0，2，），E（，0），则=（，2，），=（0，1，），则|=，|=2，则=23=1，设异面直线PD与AC所成角为，则cos=|=，所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为（）设存在点F，使平面BFD与平面APC所成的角为90，设F（a，b，0），因为P，C，F三点共线，=（a，b，0），=（，1，0），设=，则（a，b，0）=（，1，0），所以a=（1），b=，则F（1），0），设平面BFD的一个法向量为=（x，y，z），则得令y=，则=（，3），|=，设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则则，令x=1，则=（1，1），|=，又=（1，1）（，3）=
34、，若平面BFD与平面APC所成的角为90，则cos90=0，故=0，即=1，此时E（2，1，0），点F在CP延长线上，所以，在PC边上不存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90【点评】本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的计算，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键20（12分）（2016福建模拟）已知点P是直线l：y=x+2与椭圆+y2=1（a1）的一个公共点，F1，F2分别为该椭圆的左右焦点，设|PF1|+|PF2|取得最小值时椭圆为C（）求椭圆C的标准方程及离心率；（）已知A，B为椭圆C上关于y轴对称的两点，Q是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线QA，QB分别与y轴交于点M（0，
35、m），N（0，n），试判断mn是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）联立，得（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆C的方程（）设A（x1，y1），B（x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），由已知求出m=，n=，由此能求出mn为定值1【解答】解：（）联立，得（a2+1）x2+4a2x+3a2=0，直线y=x+2与椭圆有公共点，=16a44（a2+1）3a20，解得a23，a，又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|
36、=2a，故当a=时，|PF1|+|PF2|取得最小值，此时椭圆C的方程为（）设A（x1，y1），B（x1，y1），Q（x0，y0），且M（0，m），N（0，n），kQA=kQM，=，即，m=，同理，得n=，mn=，又+=1，mn=1，mn为定值1【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两实数值的乘积是否为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆方程的性质的合理运用21（12分）（2016潍坊二模）已知函数f（x）=axx2bln（x+1）（a0），g（x）=exx1，曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线（1）若x=0为f（x）的极大值点，求f（x）
37、的单调区间（用a表示）；（2）若x0，g（x）f（x）+x2，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】分类讨论；函数思想；综合法；导数的综合应用【分析】（1）f（x）=ax，（x1），g（x）=ex1由曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，可得f（0）=g（0），b=a因此f（x）=，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出（2）由g（x）=ex1，x0时，g（x）0，可得exx+1，从而xln（x+1）设F（x）=g（x）f（x）x2=ex+aln（x+1）（a+1）x1，F（x）=ex+（a+1），对a分类讨论a=1，0a1，a
38、1，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）f（x）=ax，（x1），g（x）=ex1曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处有公共的切线，f（0）=g（0），ab=0b=af（x）=ax=，a=1时，f（x）=0，函数f（x）在（1，+）上单调递减，舍去a1时，x=0为f（x）的极小值点，舍去0a1时，1a10，当x（1，a1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；x（a1，0），f（x）0，函数f（x）单调递增；当x（0，+）时，f（x）0，函数f（x）单调递减x=0时，x=0为f（x）的极大值点因此可得：当x（1，a1）时，函数f（x）单调递减；x（a1，0），函数f（x）单调递
39、增；当x（0，+）时，函数f（x）单调递减（2）g（x）=ex1，x0时，g（x）0，故x=0时，g（x）取得最小值0，g（x）0，即exx+1，从而xln（x+1）设F（x）=g（x）f（x）x2=ex+aln（x+1）（a+1）x1，F（x）=ex+（a+1），a=1时，x0，F（x）x+1+（a+1）=x+1+20，F（x）在0，+）递增，从而F（x）F（0）=0，即ex+ln（x+1）=2x10，g（x）f（x）+x20a1时，由得：ex+ln（x+1）2x10，g（x）=exx1xln（x+1）a（xln（x+1），故F（x）0即g（x）f（x）+x2，a1时，令h（x）=ex+（a
40、+1），则h（x）=ex，显然h（x）在0，+）递增，又h（0）=1a0，h（1）=10，h（x）在（0，1）上存在唯一零点x0，当x（0，x0）时，h（x）0，h（x）在0，x0）递减，x（0，x0）时，F（x）F（0）=0，即g（x）f（x）+x2，不合题意，综上，a（0，1【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了等价转化能力、分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016冀州市校级模拟）等腰梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于点Q，AC平分DAB
41、，AP为梯形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P（）求证：PQ2=PDPB（）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（）由已知可证PAD=ABD，进而可证PAQ=AQP，可得PA=PQ，利用切割线定理即可得证（）先证明PADPBA，从而可得PB，由切割线定理可求PD，进而可求AQ=DQ=PAPD的值【解答】证明：（）PA为圆的切线，PAD=ABD，AC平分DAB，BAC=CAD，PAD+DAC=BAC+ABC，PAQ=AQP，PA=PQPA为圆的切线，PA2=PDPB，PQ2=PDPB（6分
42、）解：（）PADPBA，PA2=PDPB，（12分）【点评】本题主要考查了三角形相似的性质，切割线定理的应用，考查了数形结合与转化思想，考查了计算能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程23（2016福建模拟）选修44：坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为（为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为cos2=sin（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若射线l：y=kx（x0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k（1，时，求|OA|OB|的取值范围【考点】参数方程化成普通方程【专题】对应思想；参数法；坐
43、标系和参数方程【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x1）2+y2=1，即x2+y22x=0，曲线C1的极坐标方程为22cos=0，即=2cos曲线C2的极坐标方程为cos2=sin，即2cos2=sin，曲线C2的直角坐标方程为x2=y（2）设射线l的倾斜角为，则射线l的参数方程为（t为参数，）把
44、射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t22tcos=0，解得t1=0，t2=2cos|OA|=|t2|=2cos把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2t2=tsin，解得t1=0，t2=|OB|=|t2|=|OA|OB|=2cos=2tan=2kk（1，2k（2，2|OA|OB|的取值范围是（2，2【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义的应用，属于中档题选修4-5：不等式选讲24（2016乌鲁木齐模拟）设函数f（x）=x23x（）若+=1（，0），求证：f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；（）若对任意x1，x20，1，都有|f（x1）f（
45、x2）|L|x1x2|，求L的最小值【考点】分段函数的应用【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（）利用作差法进行证明即可（）根据绝对值的几何意义，进行求解即可【解答】证明：（）f（x1+x2）f（x1）+f（x2）=（x1+x2）23（x1+x2）（x123x1）+（x223x2）=（1）x12+2x1x2+（1）x22=x12+2x1x2+x22=（x1x2）20，f（x1+x2）f（x1）+f（x2）；（）|f（x1）f（x2）|=|x123x1x22+3x2|=|x1x2|x1+x23|，x1，x20，1，x1+x20，2，3x1+x231，|x1+x23|3，使|f（x1）f（x2）|L|x1x2|恒成立的L的最小值是3【点评】本题主要考查不等式的证明，利用绝对值的应用，利用作差法是解决本题的关键