1、微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题例题：设等差数列an的前n项和为Sn，已知a324，S110.(1)求an；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值变式1等差数列an的前n项和为Sn，且公差d0，若S9S23，则数列an的前多少项的和最大？变式2等差数列an的前n项和为Sn，且公差d0，若S10S23，则数列an的前多少项的和最大？串讲1已知数列an的通项公式an，记Tnanan1an6，当|Tn|取最小值时，n的值为多少？串讲2已知数列an的通项公式an，记Tnanan1an5，当|Tn|取最小值时，n的值为多少？(2018全国卷改编)记Sn为
2、等差数列an的前n项和，已知a17，S315.求Sn，并求Sn的最小值(2018苏州第一学期期初调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，且anSnn216n15(n2，nN*)若对任意的nN*，总有SnSk，求正整数k的值答案：k7.解法1因为anSnn216n15(n2，nN*)，所以也即解得a113，a211，所以da2a12，故an2n15，5分令得所以n，9分又nN*，所以n7，即数列an的前7项和为S7最大，所以k7.14分解法2因为anSnn216n15(n2，nN*)，所以也即解得a113，a211，7分所以da2a12，故an2n15，9分Sn13n(2)n214n(n7)24
3、9，12分所以数列an的前7项和为S7最大，故k7.14分微专题47例题答案：(1)an488n；(2)Sn4n244n；(3)n5或6时，Sn最大，Sn120.解析：(1)因为a324，S110.所以解得所以an488n.(2)由(1)知，a140，an488n，所以Sn4n244n.(3)解法1：由(2)有，Sn4n244n4(n)2121，故当n5或n6时，Sn最大，且Sn的最大值为120.解法2 ：由an488n，即得5n6，又nN*，所以n6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n项和Sn最值问题的研究有两种主要思
4、路：其一，利用Snan2bn具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由求得Sn取得最大值时n的条件，同样由求得Sn取得最小值时n的条件变式联想变式1答案：16.解析：由S9S23，得a10a11a230，即a16a170，又因为d0，a170，所以，数列an的前16项的和最大变式2答案：16或17.解析：由S10S23，得a11a12a230，即a170，又因为d0，a180，所以，数列an的前16项或17的和最大说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n项和Sn取得最值时，n的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的
5、项，因此前n项和Sn取得最值时，n的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别串讲激活串讲1答案：n5.解析：由an，知an递减且a80，又Tnanan1an67an3，考虑到|Tn|0，且由n38，得n5，即满足|Tn|取得最小值的正整数n5.串讲2答案：n5或6.解析：由an，知an递减且a80，又Tnanan1an5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n(n5)281，即就是n5或6时，|Tn|取得最小值新题在线答案：16.解析：设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.所以Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.
