1、幂函数基础过关练题组一幂函数的概念1.下列函数是幂函数的是()A.y=2x2B.y=x3+xC.y=3xD.y=x122.已知幂函数y=f(x)的图象经过点4,14,则f(2)=()A.12B.2C.22D.23.函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0的定义域是()A.(-,1B.-,1212,1C.(-,-1)D.12,14.(2021安徽合肥八中高一上期中)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,则n-m=()A.19B.18C.8D.95.已知函数f(x)=(m2+2m)xm2+m-1,m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)幂函数?
2、题组二幂函数的图象及其应用6.函数y=x43的图象是()7.如图所示,曲线C1和C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.nm0B.mnm0D.mn08.(2020湖南衡阳一中高一上期中,)函数y=x12-1的图象关于x轴对称的图象大致是()题组三幂函数的性质及其应用9.下列函数中,是偶函数且在(0,+)上为减函数的是()A.y=x2B.y=x3C.y=x-2D.y=-x310.(2020山西长治二中高一上期末)已知-1,1,2,3,则使函数y=x的值域为R,且为奇函数的所有的值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,311.如果幂函数f(x)
3、=x的图象过点(-2,4),那么f(x)的单调递增区间是()A.(-,+)B.0,+)C.(-,0D.(-,0)(0,+)12.(2020安徽安庆高一上期末)已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa在区间(0,+)上是增函数,则a的值为()A.3B.-1C.-3D.113.若幂函数f(x)过点(3,27),则满足不等式f(a-3)f(1-a)的实数a的取值范围是.14.(2021河北衡水武邑中学高一上期中)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(mR)为偶函数.(1)求f12的值;(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.能力提升练题组一幂函数的概念与图象1.()若f(x)是
4、幂函数,且满足f(4)f(2)=4,则f12=()A.-4B.4C.-12D.142.(2020山东临沂高一上期末,)用函数M(x)表示函数f(x)和g(x)中的较大者,记为M(x)=maxf(x),g(x).若f(x)=|x|,g(x)=x-2,则M(x)的大致图象为()3.(2020吉林白山一中高一上期中,)对于幂函数f(x)=x45,若0x1f(x1)+f(x2)2B.fx1+x221,则f(x)1D.若0x1x2,则 f(x1)+f(x2)2fx1+x229.(多选)()已知幂函数f(x)=xmn(m,nN*,m,n互质),下列关于f(x)的结论正确的是()A.m,n是奇数时,f(x)
5、是奇函数B.m是偶数,n是奇数时,f(x)是偶函数C.m是奇数,n是偶数时,f(x)是偶函数D.0mn1时,f(x)在(0,+)上是减函数10.(2021山东淄博高一上期中,)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象关于y轴对称,则不等式xm+mx-3g(x),求函数h(x)的最大值及单调区间.答案全解全析基础过关练1.Dy=2x2,y=x3+x,y=3x均不是幂函数,y=x12是幂函数,故选D.2.A设幂函数为f(x)=x,幂函数的图象经过点4,14,14=4,=-1,f(x)=x-1,f(2)=2-1=12.3.B依题意得1-x0,2x-10,解得x1,y=x43在第一象限内的图象与
6、y=x2的图象类似,排除B,故选A.7.A由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m0,n0.由幂函数图象的特点知nm,故nmf(1-a),得a-31-a,解得a2.所以满足不等式f(a-3)f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+).14.解析(1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,当m=2时,f(x)=x-3,为奇函数,不满足题意;当m=3时,f(x)=x-4,满足题意,f(x)=x-4,f12=12-4=16.(2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a,a=-1或a=-13.能力提升练1.D设f(x)=x
7、,则f(4)=4=22,f(2)=2.f(4)f(2)=222=2=4=22,=2,f(x)=x2,f12=122=14,故选D.2.A在同一直角坐标系中作出两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图所示:由图象可知,M(x)=maxf(x),g(x)=g(x),0|x|1,f(x),|x|1.因此,函数y=M(x)的大致图象为选项A中的图象.故选A.解题模板研究幂函数的图象要抓住两点:一是抓住第一象限的图象,以y=x2 、y=x-1、y=x12为代表;二是抓住函数的奇偶性,由此解决与幂函数图象有关的问题.3.A幂函数f(x)=x45在0,+)上是增函数,大致图象如图所示.设A(x1,0)
8、,C(x2,0),其中0x112(|AB|+|CD|),fx1+x22f(x1)+f(x2)2,故选A.4.答案3解析依题意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.当m=0时,f(x)=x,其图象经过原点,不符合题意;当m=3时,f(x)=x-2,其图象不经过原点,符合题意,因此实数m的值为3.5.答案3解析幂函数y=(m2-m-5)xm2-4m+1的图象分布在第一、二象限,m2-m-5=1,且m2-4m+1为偶数,求得m=3,故答案为3.6.Af(x)=(m2-3m-3)x2m-3是幂函数,m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=-1时,f(x)=x-5,其在区间(0,+)上是减函
9、数,不合题意;当m=4时,f(x)=x5,其在区间(0,+)上是增函数,满足题意.故m=4,故选A.7.A因为函数f(x)为幂函数,所以2n-1=1,所以n=1.因为函数f(x)在(0,+)上是单调递增的,所以-m2+2m+30,所以-1m1时,x1,即f(x)1,所以C正确;当0x1x2时,f(x1)+f(x2)22-fx1+x222=x1+x222-x1+x222=x1+x2+2x1x24-x1+x22=2x1x2-x1-x24=-(x1-x2)240,即 f(x1)+f(x2)2fx1+x22,所以D正确.故选ACD.9.ABf(x)=xmn=nxm,当m,n是奇数时,f(x)是奇函数,
10、故A中的结论正确;当m是偶数,n是奇数时,f(x)是偶函数,故B中的结论正确;当m是奇数,n是偶数时,f(x)在x0时无意义,故C中的结论错误;当0mn1时,f(x)在(0,+)上是增函数,故D中的结论错误.故选AB.10.答案(-3,1)解析由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x2,其图象关于y轴对称,当m=-1时,f(x)=1x,不合题意,故m=2,xm+mx-30即x2+2x-30,解得-3x1,即不等式的解集是(-3,1).11.解析(1)设f(x)=x,因为点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,所以(2)=2,解得=2,即f(x)=x2.设g(x)=x,因为点2,12在幂函数g(x)的图象上,所以2=12,解得=-1,即g(x)=x-1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示(图中实线部分).由题意及图象可知h(x)=x-1,x1,x2,0x1.根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1,单调递减区间为(-,0)和(1,+).