1、2016-2017学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D2设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A5B7C9D113不等式log21的解集为（）A（，1B1，+）C1，0）D（，1（0，+）4设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且a10若S22a3，则q的取值范围是（）ABCD5设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A7B4C1D26已知an为等差数列
2、，a4+a7=2，a5a6=3，则a1a10=（）A99B323C3D27已知方程x2（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（）A（，2B（，2C2，）D2，+）8设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为40，则的最小值为（）ABC1D49已知正实数a，b满足a+2b=1，则的最小值为（）AB4CD10等差数列an前n项和为Sn，（pq），则Sp+q的值是（）A大于4B小于4C等于4D不确定11变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2B1C1D212若a，b，c0且，则2a+b+c的最小
3、值为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n=14设a，b0，a+b=5，则+的最大值为15设Sn是数列an的前n项和，a1=1，an+1=SnSn+1，则Sn=16已知不等式xyax2+2y2对于x1，2，y2，3恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=x2+ax+6（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0的解集为R，求实数a的取值范围18今年的国庆假期是实施免收小型客
4、车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度19设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sn=an+124n1，nN*，且a2，a5，a
5、14构成等比数列（1）证明：a2=；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有20解关于x的不等式（a24）x2+4x1021已知数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（nN*），数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）求数列cn的前n项和Sn；（3）若cn+m1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围22设函数f（x）=（x0），数列an满足（nN*，且n2）（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n1anan+1，若Tntn2对nN*恒成立，求实数t的取值范围；（3）是否存在以a1
6、为首项，公比为q（0q5，qN*）的数列a，kN*，使得数列a中每一项都是数列an中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列nk的通项公式；若不存在，说明理由2016-2017学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果ab0，那么下列不等式成立的是（）ABabb2Caba2D【考点】不等关系与不等式【分析】由于ab0，不妨令a=2，b=1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论【解答】解：由于ab0，不妨令a=2，b=1，可得=1，故A不正确可得a
7、b=2，b2=1，abb2，故B不正确可得ab=2，a2=4，aba2，故C不正确故选D2设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A5B7C9D11【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列an的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，及a1+a3+a5=3，3a3=3，a3=1，S5=5a3=5故选：A3不等式log21的解集为（）A（，1B1，+）C1，0）D（，1（0，+）【考点】其他不等式的解法【分析】利用对数函数的单调性将对数不等式中的对数符号脱去，移项，利用穿根法求出解集【解答
8、】解：原不等式同解于即解得1x0故答案为C4设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，且a10若S22a3，则q的取值范围是（）ABCD【考点】等比数列的性质；数列的函数特性【分析】由题意可得a10，且 a1+a1q2a1q2，解一元二次不等式求得q的取值范围，注意 q0这个隐藏条件【解答】解：由题意可得a10，且 a1+a1q2a1q2，即 2q2q10，即 （2q+1）（q1）0解得q1，又 q0，q的取值范围是，故选B5设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A7B4C1D2【考点】简单线性规划【分析】先根据条件画出可行域，设z=y2x，再利用几何意义求最值，将最小值
9、转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y2x=0经过点A（5，3）时，y2x最小，最小值为：7，则目标函数z=y2x的最小值为7故选A6已知an为等差数列，a4+a7=2，a5a6=3，则a1a10=（）A99B323C3D2【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质可知，a4+a7=a5+a6=2，结合a5a6=3，可求a5，a6，从而可求a1，d，结合等差数列的通项公式代入可求【解答】解：由等差数列的性质可知，a4+a7=a5+a6=2，a5a6
10、=3，或或则a1a10=a1（a1+9d）=1917=323故选B7已知方程x2（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（）A（，2B（，2C2，）D2，+）【考点】根与系数的关系【分析】由题意可得，解不等式组求得m的取值范围【解答】解：令x2（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得，解得2m，故选C8设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为40，则的最小值为（）ABC1D4【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线
11、z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线2xy6=0的交点（8，10）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而=故选B9已知正实数a，b满足a+2b=1，则的最小值为（）AB4CD【考点】基本不等式【分析】由条件利用基本不等式可得 ab（0，再由=14ab+，且14ab+ 在（0，上是减函数，求得它的最小值【解答】解：已知正实数a，b满足a+2b=1，1=a+2b2
12、，当且仅当a=2b时，取等号解得ab，即 ab（0，再由 （a+2b）2=a2+4b2+4ab=1，故=14ab+把ab当做自变量，则14ab+ 在（0，上是减函数，故当ab=时，14ab+取得最小值为 1+8=，故选D10等差数列an前n项和为Sn，（pq），则Sp+q的值是（）A大于4B小于4C等于4D不确定【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式、重要不等式的性质即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，（pq），pa1+d=，qa1+d=，（pq）a1+d=，a1+d=，可得a1=d+，则Sp+q=（p+q）a1+d=（p+q）（d+）+d=4，当且仅当p=qN*时
13、取等号故选：A11变量x，y满足约束条件，若z=2xy的最大值为2，则实数m等于（）A2B1C1D2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1故选：C12若a，b，c0且，则2a+b+c的最小值为（）ABCD【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式【解答】解：若a
14、，b，c0且，所以，则（2a+b+c），故选项为D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在数列an中，a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n=6【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列an是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解【解答】解：an+1=2an，a1=2，数列an是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，Sn=2n+12=126，2n+1=128，n+1=7，n=6故答案为：614设a，b0，a+b=5，则+的最大值为3【考点】函数最值的应用【分析
15、】利用柯西不等式，即可求出的最大值【解答】解：由题意，（）2（1+1）（a+1+b+3）=18，的最大值为3，故答案为：315设Sn是数列an的前n项和，a1=1，an+1=SnSn+1，则Sn=【考点】数列的求和【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1Sn=SnSn+1， =1，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=SnSn+1，Sn+1Sn=SnSn+1，=1，数列是等差数列，首项为1，公差为1=1（n1）=n，解得Sn=故答案为：16已知不等式xyax2+2y2对于x1，2，y2，3恒成立，则实数a的取值范围是1，+）【考点】不等式的综合【分析】本题考查的是不等式与恒
16、成立的综合类问题在解答时，首先可以分离参数将问题转化为：对于x1，2，y2，3恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答【解答】解：由题意可知：不等式xyax2+2y2对于x1，2，y2，3恒成立，即：，对于x1，2，y2，3恒成立，令，则1t3，at2t2在1，3上恒成立，ymax=1，a1 故答案为：1，+）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=x2+ax+6（1）当a=5时，解不等式f（x）0；（2）若不等式f（x）0的解集为R，求实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；二次函数的性质【分析】（1）首先把一元二次不
17、等式变为x2+5x+60，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+60的解集为R，只需0，求出实数a的取值范围即可【解答】解：（1）当a=5时，不等式f（x）0即x2+5x+60，（x+2）（x+3）0，3x2不等式f（x）0的解集为x|3x2（2）不等式f（x）0的解集为R，x的一元二次不等式x2+ax+60的解集为R，=a24602a2实数a的取值范围是（2，2）18今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的
18、隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）利用当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值【解答】解：（1）当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离
19、；当12x25时，相邻两车之间保持（）m的距离，当0x12时，y=；当12x25时，y=5x+10y=；（2）当0x12时，y=，x=12m/s时，ymin=290s；当12x25时，y=5x+102 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，ymin=250s290250，x=24m/s时，ymin=250s答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s19设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sn=an+124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列（1）证明：a2=；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一
20、切正整数n，有【考点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n2），两式相减即可求出通项公式（3）由（2）可得=利用“裂项求和”即可证明【解答】解：（1）当n=1时，（2）当n2时，满足，且，an0，an+1=an+2，当n2时，an是公差d=2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列，解得a2=3，由（1）可知，a1=1a2a1=31=2，an是首项a1=1，公差d=2的等差数列数列an的通项公式an=2n1（3）由（2）可得式=20解关于x的不等式（a24）x2+4x10【考点】一元二次不等式的解法【分析】分类讨论：当a=2时，
21、当a2时，当a2时，当2a2时，分别求解一元二次不等式即可得答案【解答】解：当a=2时，4x10，；当a2时，（a24）x2+4x10，即（a+2）x1（a2）x+10，解得或；当a2时，（a24）x2+4x10，即（a+2）x1（a2）x+10，解得或；当2a2时，（a24）x2+4x10，即（a+2）x1（a2）x+10，解得不等式（a24）x2+4x10的解集为：（，+）；（，）（，+）；（，）（，+）；（，）21已知数列an是首项为a1=，公比q=的等比数列，设bn+2=3logan（nN*），数列cn满足cn=anbn（1）求证：bn是等差数列；（2）求数列cn的前n项和Sn；（3）
22、若cn+m1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围【考点】等差关系的确定；函数恒成立问题；数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求得an，代入求得bn+1bn为常数，进而判断出数列bn是等差数列（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1Cn结果小于0，进而判断出当n2时，Cn+1Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为，求得m的取值范围【解答】解：（1）由题意知，an=（）n，b1=1bn+1bn=3an+13an=3=3q=3数列bn是首项为1，公差为3的等差数列（2）由（1）知，an=（）nbn=3
23、n2Cn=（3n2）（）nSn=1+4（）2+（3n2）（）n，于是Sn=1（）2+4（）3+（3n2）（）n+1，两式相减得Sn=+3（）2+（）3+（）n）（3n2）（）n+1，=（3n+2）（）n+1，Sn=（）n（3）Cn+1Cn=（3n+1）（）n+1（3n2）（）n=9（1n）（）n+1，当n=1时，C2=C1=当n2时，Cn+1Cn，即C2=C1C3C4Cn当n=1时，Cn取最大值是又即m2+4m50解得m1或m522设函数f（x）=（x0），数列an满足（nN*，且n2）（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）n1anan+1，若Tn
24、tn2对nN*恒成立，求实数t的取值范围；（3）是否存在以a1为首项，公比为q（0q5，qN*）的数列a，kN*，使得数列a中每一项都是数列an中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列nk的通项公式；若不存在，说明理由【考点】数列与函数的综合【分析】（1）由，（nN*，且n2），知再由a1=1，能求出数列an的通项公式；（2）当n=2m，mN*时，Tn=T2m=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）2m1a2ma2m+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2m（a2m1a2m+1）=当n=2m1，mN*时，Tn=T2m1=T2m（1）2m1a2ma2m+1=由此入手能求出实数t的取值
25、范围（3）由，知数列an中每一项都不可能是偶数如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列ank，kN*，此时ank中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列ank当q=1时，显然不存在这样的数列ank当q=3时，n1=1，所以满足条件的数列nk的通项公式为【解答】解：（1）因为，（nN*，且n2），所以anan1=因为a1=1，所以数列an是以1为首项，公差为的等差数列所以an=（2）当n=2m，mN*时，Tn=T2m=a1a2a2a3+a3a4a4a5+（1）2m1a2ma2m+1=a2（a1a3）+a4（a3a5）+a2m（a2m1a2m+1）=当n=2m1，mN*时，Tn=T2m1=T2m（1）2m1a2ma2m+1=所以Tn=要使Tntn2对nN*恒成立，只要使，（n为偶数）恒成立只要使，对n为偶数恒成立，故实数t的取值范围为（3）由an=，知数列an中每一项都不可能是偶数如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列ank，kN*，此时ank中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列ank当q=1时，显然不存在这样的数列ank当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列ank，kN*则=1，n1=1， =，nk=所以满足条件的数列nk的通项公式为nk=2016年12月25日