1、学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】C2.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点D.设a，bZ，若a，b中至少有一个为奇数，则ab是奇数【解析】ab为奇数a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.【答案】D3.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正
2、确的为()A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】D4.设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数() 【导学号：94210020】A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则abc180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形
3、中不能有两个直角；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为()A.B.C.D.【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.【答案】D二、填空题6.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7.用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是_.【解析】与的关系有三种情况：，和”的反设应为“”.【答案】8.设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a
4、，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号).【解析】若a，b，则ab1，但a1，b2，故不能推出.对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】三、解答题9.已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3.而与abc2x22x3233矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等差数列.【证明】假设， ， 成等差数列，则2
5、，两边同时平方得ac24b.把b2ac代入ac24b，可得ac2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾.所以， ， 不成等差数列.能力提升1.有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，故的假设是错误的，而的假设是正确的.【答案】D2.已知命题“在ABC中，AB.求证sin Asin B”.若用反证法证明，得出的矛盾是()A.与已知条件矛盾B.与三角形内角和定理矛盾C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D.与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin Asin B，因为0A，0B，所以AB或AB.其中AB与A
6、B矛盾；AB与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立.所以sin Asin B.【答案】C3.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_. 【导学号：94210021】【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明：数列cn不是等比数列.【证明】假设数列cn是等比数列，则(anbn)2(an1bn1)(an1bn1).因为an，bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aan1an1，bbn1bn1.代入并整理，得2anbnan1bn1an1bn1anbn，即2.当p，q异号时，2，与相矛盾.故数列cn不是等比数列.