1、单元质检卷二函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合A=x|y=lg(x-3),B=y|y=2x,xR,则AB等于()A.B.RC.x|x3D.x|x02.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=x3B.y=-x2+1C.y=log2xD.y=2|x|3.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bc0,且a1)及y=logbx(b0,且b1)的图像与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分
2、点,则a,b满足()A.ab1B.baa1D.ab15.函数f(x)=1x-ln(x+1)的图像大致为()6.已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x,实数m,n满足不等式f(2m-n)+f(2-n)0,则下列不等关系成立的是()A.m+n1B.m+n-1D.m-n-17.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步过程.设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图像大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的()A.点MB.点NC.点PD.点Q8.设奇函数
3、f(x)在(0,+)上单调递增,且f(1)=0.则不等式f(x)-f(-x)x0的解集是()A.(-1,0)(1,+)B.(-1,0)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1)(0,1)二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.在下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递增的是()A.y=ln(1+9x2-3x)B.y=ex+e-xC.y=x2+1D.y=cos x+310.某同学在研究函数f(x)=x2+1+x2-4x+5的性质时,受两点间距离公式的启发,将f(x)变形为f(
4、x)=(x-0)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-1)2,则下列关于函数f(x)的描述正确的是()A.函数f(x)在区间1,+)上单调递增B.函数f(x)的图像是中心对称图形C.函数f(x)的值域为22,+)D.方程f(f(x)=1+5无实数解11.已知函数f(x)对xR,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),若f(a)=-f(2 020),a5,9且f(x)在5,9上具有单调性,则下列结论正确的是()A.f(3)=0B.a=8C.f(x)是周期为4的周期函数D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称12.已知函数f(x)=12x-x3,x0,-4x,x0,则ff1e
5、=.14.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.15.已知定义域为R的函数f(x)=+2ex+exx2+2020sinx2+x2有最大值和最小值,且最大值和最小值的和为4,则-=.16.已知函数f(x)=lnx,x1,2x3-3x2+1,x0,且a1)的图像过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最
6、小值时x的值.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(2x)-k2x0在x-1,1上有解,求实数k的取值范围.19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(xN)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1 450(万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:
7、千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20.(12分)某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计)民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=41+1x,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1x30,xN*)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.21.(12
8、分)已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值-t24(t0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间-1,12上的最小值为-5,求此时t的值.22.(12分)已知函数f(x)=lgx+ax-2,其中x0,a0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x2,+)恒有f(x)0,试确定a的取值范围.参考答案单元质检卷二函数1.CA=x|y=lg(x-3)=x|x-30=x|x3,B=y|y=2x,xR=y|y0,AB=x|x3,故选C.2.D函数y=x3是奇函数,不符合;函数y=-x2+1是偶函数,但是在(0,+)上单调递减,不符合;函数y=lo
9、g2x不是偶函数,不符合;函数y=2|x|既是偶函数又在区间(0,+)上单调递增,符合.故选D.3.Blog20.220=1,00.20.30.20=1,则a1,0c1,故ac133=a,且b=2332230=1,即ab0,排除选项C,D;由f(x)=1x-ln(x+1)0,得函数没有零点,排除选项B.故选A.6.Cf(x)的定义域为R,f(-x)=e-x-exex+e-x=-f(x),f(x)是R上的奇函数.f(x)=1-e-2x1+e-2x=-1+21+e-2x,则f(x)是R上的增函数.由f(2m-n)+f(2-n)0得,f(2m-n)f(n-2),2m-nn-2,m-n-1.故选C.7
10、.D由图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去点N,M,排除选项A,B;若是点P,则从最高点到点C,y单调递减,与图2矛盾,排除选项C;因此取点Q,故选D.8.B函数f(x)是奇函数,函数f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)在(-,0)上也单调递增.f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=0,不等式f(x)-f(-x)x0可化为2xf(x)0,即xf(x)0.当x0=f(-1),x-1,-1x0时,可得f(x)0=f(1),x1,0x1.综上,不等式f(x)-f(-x)x1),则f(t)=t+1t,由对勾函数性质可得,f(t)在(1,+)上单调递增,又t=ex单调递增,所以f
11、(x)=ex+e-x在(0,+)上单调递增,故B符合题意;对于C,易知f(x)=x2+1为偶函数,由其图像知f(x)在(0,+)上单调递增,故C符合题意;对于D,易知y=cosx+3是偶函数,但在(0,+)不恒增,故D不符合题意.故选BC.10.ACD由题意,f(x)=(x-0)2+(0-1)2+(x-2)2+(0-1)2,其几何意义表示点P(x,0)到点A(0,1),B(2,1)的距离之和,点B关于x轴的对称点为B,如图所示.由对称性可知|PB|=|PB|,所以f(x)=|PA|+|PB|=|PA|+|PB|.当点P的横坐标由x1增加到x2时,|PA|+|PB|的值也在增加,即f(x2)f(
12、x1),故f(x)在区间1,+)上单调递增,故A正确;同理可得,f(x)在(-,1)上单调递减,故函数f(x)的图像不是中心对称图形,故B错误;由图可知,f(x)=|PA|+|PB|AB|=22+(-1-1)2=22,即f(x)的值域为22,+),故C正确;设f(x)=t,方程f(f(x)=1+5等价于f(t)=1+5,即t2+1+t2-4t+5=1+5,解得t=0或t=2,因为f(x)=t22,所以方程f(f(x)=1+5无实数解,故D正确.故选ACD.11.ABf(x)对xR,满足f(x)=-f(6-x),f(x+1)=f(-x+1),f(x)=-f(6-x)=-f(-(x-5)+1)=-
13、f(x-5+1)=-f(x-4),f(x-4)=-f(x),f(x-8)=f(x-4-4)=-f(x-4)=f(x),故f(x)的周期为T=8,故C错误;f(a)=-f(2020)=-f(2528+4)=-f(4)=-f(3+1)=-f(-2)=-f(6-(-2)=f(8),又a5,9且f(x)在5,9上具有单调性,易得a=8,故B正确;f(x)=-f(6-x),则f(3)=-f(6-3)=-f(3),f(3)=0,故A正确;f(x+1)=f(-x+1),y=f(x)的图像关于直线x=1对称,故D错误.故选AB.12.ABC由题意,函数f(x)=12x-x3,x0,-4x,x0,即(x+2)(
14、x-2)0,解得-2x2,令f(x)0,解得x2,所以函数f(x)在0,2)上单调递增,在2,+)上单调递减,所以当x=2时,函数取得最大值,最大值为f(2)=122-23=16,即当x0时,函数f(x)的值域为(-,16;当x0,当x=10时,代入两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=45,y1+y2=20x+45x220x45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时,等号成立,故答案为5.15.-2f(x)=+2ex+exx2+2020sinx2+x2=+ex+2020sinx2+x2,若0,则函数y=f(x)无最大值,不符合题意.所以=0,则f(x)=+2020
15、sinx2+x2,则f(x)+f(-x)=+2020sinx2+x2+2020sin(-x)2+(-x)2=2,所以函数y=f(x)的图像关于点(0,)对称,则f(x)max+f(x)min=4=2,则=2,因此-=-2.故答案为-2.16.-40,14f(x)=lnx在1,e上单调递增,所以f(x)min=f(1)=ln1=0.当x-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,令f(x)=6x2-6x=0,解得x=1(舍去)或x=0,则有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减.因为f(-1)=-2-3+1=-4f(1),所以函数f(x)在-1,e上的最小值为-4.令t=f(x
16、),g(x)=0,即t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,直线y=t与函数y=f(x)的图像最多只有三个交点,所以0t1,即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不相等的实数根,亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图像与直线y=-a有两个交点.因为y=t2-t=t-122-14,根据y=t2-t的图像可知,-14-a0,即0a0).(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-1+log2(x-1)=log2x2x-1-1(x1).x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+22(x-1)1x-1+2=4,当且仅当x-1=1x
17、-1,即x=2时,等号成立.令t=x2x-1,t4,因为函数y=log2t在4,+)上单调递增,则log2x2x-1-1log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.18.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a0,所以g(x)在区间2,3上单调递增,故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k2x0在x-1,1上有解可化为2x+12x-2k2x在x-1,1上有解,化为1+12x2-212xk在x-1,1上有解,令t=12x,则kt2-2t+1在t12,2上有解.记h(t)=t2-2t+1,则h(t)ma
18、x=h(2)=1.故k的取值范围是(-,1.19.解(1)当0x80,xN时,L(x)=5001000x10000-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;当x80,xN时,L(x)=5001000x10000-51x-10000x+1450-250=1200-x+10000x.L(x)=-13x2+40x-250(0x80,xN),1200-(x+10000x)(x80,xN).(2)当0x950.综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1000,即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.20.解(1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=41+1x(104
19、-|x-23|)(1x30,xN*).(2)p(x)=4(1+1x)(81+x)(1x23,xN*),4(1+1x)(127-x)(23x30,xN*).当1x23时,p(x)=41+1x(81+x)=482+x+81x482+2x81x=400,当且仅当x=81x,即x=9时,等号成立.故p(x)取得最小值400.当23x30时,p(x)=41+1x(127-x)=4126+127x-x.设h(x)=127x-x,则有h(x)=-127x2-1400.所以最低日收益为400万元.则两年内的税收为40015%301221.5%=648600,所以600万元的投资可以在两年内收回.21.解(1)
20、设f(x)=ax-t+222-t24(a0).因为f(1)=0,所以t24(a-1)=0.又因为t0,所以a=1,所以f(x)=x-t+222-t24(t0).(2)因为f(x)=x-t+222-t24(t0),所以当t+22-1,即t12,即t-1时,f(x)在-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上所述,t=-92.22.解(1)由x+ax-20,得x2-2x+ax0.因为x0,所以x2-2x+a0.当a1时,x2-2x+a0恒成立,函数f(x)的定义域为(0,+);当a=1时,函数f(x)的定义域为x|x0,且x1;当0a1时,函数f(x)的定义域为x|0x1+1-a.(2)对任意x2,+)恒有f(x)0,即x+ax-21对x2,+)恒成立,故a3x-x2对x2,+)恒成立.令h(x)=3x-x2,h(x)=3x-x2=-x-322+94在2,+)上单调递减,于是h(x)max=h(2)=2.故a2,即a的取值范围是a|a2.
