1、模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:若=150,则sin =12,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),则a的值为()A.18B.14C.8D.4解析抛物线的标准方程为x2=1ay,因为抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),所以14a=2,所以a=18,故选A.答案A3.ab,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)(a-b),则等于
2、()A.32B.-32C.32D.1解析ab,ab=0.(3a+2b)(a-b),(3a+2b)(a-b)=0,即3a2+(2-3)ab-2b2=0,12-18=0,解得=32.故选A.答案A4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是()A.43B.25C.85D.3解析由题意,设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),其中mR,则该点到直线4x+3y-8=0的距离d=|4m-3m2-8|5=3m-232+2035,所以当m=23时,取得最小值43.故选A.答案A5.若命题s:x02,x02-3x0+20,则()A.s:x02,x02-3x0+20B
3、.s:x2,x2-3x+20C.s:x02,x02-3x0+20D.s:x2,x2-3x+20解析原命题s是特称命题,其否定应为全称命题.答案B6.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为边AB,OC的中点,P是MN上的点,满足MP=2PN,设OA=a,OB=b,OC=c,则OP等于()A.16a+16b-13cB.16a+13b+16cC.13a+16b+16cD.16a+16b+13c解析OM=12(OB+OA),ON=12OC,MN=ON-OM=12(OC-OB-OA).OP=OM+23MN=16a+16b+13c,故选D.答案D7
4、.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左右顶点分别为A1,A2,直线x=2a与一条渐近线交于点P,若|A1A2|=|PA2|,则双曲线的离心率为()A.52B.2C.72D.233解析A1(-a,0),A2(a,0),不妨设点P在渐近线y=bax上,则P(2a,2b),由|A1A2|=|PA2|可得4a2=a2+4b2,又b2=c2-a2,所以7a2=4c2,e=ca=72.答案C8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若A1AB=A1AD=60,且A1A=3,则A1C的长为()A.5B.22C.14D.17解析因为A1C=A1B1+A1D1+A1A,所以
5、|A1C|2=(A1B1+A1D1+A1A)2=|A1B1|2+|A1D1|2+|A1A|2+2(A1B1A1D1+A1B1A1A+A1D1A1A)=1+1+9+2(0+13cos120+13cos120)=5,故A1C的长为5.答案A9.若点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则PAPC1的取值范围是()A.-1,-14B.-12,-14C.-1,0D.-12,0解析以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),设P(x,y,1)(0x1,0y1).则PA=(1-x,-y,-1),
6、PC1=(-x,1-y,0),于是PAPC1=x2-x+y2-y=x-122+y-122-12.因为0x1,0y1,所以0x-12214,0y-12214,故-12x-122+y-122-120.答案D10.已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则PAF周长的最小值为()A.9B.10C.11D.12解析由题意,画出图象(见下图),F(1,0),|AF|=(5-1)2+32=5,过A点作准线l的垂线AD交直线l于D,设P到准线的距离为d,则|PF|=d,则PAF周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P、A、D三点共线时,d+|PA|取得最小值,PA
7、F周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A.x240+y24=1B.x25+y2=1C.x210+y2=1D.x210+y26=1解析直线3x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F1(-2,0),N(0,6),于是c=2.又因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF1|=|NF1|=22+62=210,于是a=10,从而b2=10-4=6,故椭圆方程为x
8、210+y26=1.答案D12.如图,四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,异面直线AD与BE所成角的余弦值为1010,则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为()A.23B.23C.223D.13解析以B为原点,BC,BD,BA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则A(0,0,a),E(1,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),于是AD=(0,2,-a),BE=(1,1,0),则|cos|=1010,于是22a2+4=1010,解得a=4或a=-4(舍).这时AC=(2,0,-4),AD=(0,2,-4),
9、设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则2x-4z=0,2y-4z=0,取n=(2,2,1),于是sin=|cos|=423=223.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点M,N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点,P为线段MN的中点,若OP=OA+OB+OC,则实数+=.解析如图,连接ON,在OMN中,点P是MN中点,则由平行四边形法则得OP=12(OM+ON)=12OM+12ON=14OA+1212(OB+OC)=14OA+14OB+14OC,+=34.答案3414.在正四面体P-ABC中,棱长为2,且E是棱AB中点,则PEBC的值为.解析由题意,
10、设PA=a,PB=b,PC=c,建立空间的一个基底a,b,c,在正四面体中PE=12(a+b),BC=c-b,所以PEBC=12(a+b)(c-b)=12(ac-ab+bc-b2)=12(22cos60-22cos60+22cos60-22)=-1.答案-115.已知p:x-2mx+m0),q:x(x-4)0,若p是q的既不充分也不必要条件,则实数m的取值范围是.解析由x-2mx+m0),解得-mx2m,由x(x-4)0,解得0x4.若p是q的充分不必要条件,则有-m0,2m0,或-m0,2m4,m0,解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有-m0,或-m0,2m4,m0,解得m2或m2.因
11、此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).答案(0,2)16.椭圆x25+y2m=1的离心率e=155,则m=.解析若0m5,则e2=m-5m=35,m=252.m的值为2或252.答案2或252三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知命题p:方程x22+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“pq”为假命题,“pq”为真命题,求实数m的取值范围.解方程x22+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆,m2.关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,4m2-4(2m+3)0,解得-1m2,m-1
12、或m3,即m3;若“p假q真”,则m2,-1m3,即-1m2.综上,实数m的取值范围是(-1,23,+).18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD为菱形,AB=2,DAB=60,ED面ABCD,EFDB,EF=1,异面直线AF,CD所成角的余弦值为64.(1)求证:面ACF面EDB;(2)求二面角B-AF-E的余弦值.(1)证明四边形ABCD是菱形,ACBD,ED面ABCD,AC面ABCD,EDAC,BDED=D,AC面EBD,AC面ACF,面ACF面EDB.(2)解四边形ABCD是菱形,AB=2,DAB=60,DB=2,DO=1,EFDB,EF=1,EFDO,EF=DO,
13、四边形EFOD是平行四边形,EDFO,ED面ABCD,FO面ABCD,以O为原点,OA,OB,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),D(0,-1,0),C(-3,0,0),设F(0,0,t),则AF=(-3,0,t),DC=(-3,1,0),cos=AFDC|AF|DC|=33+t22=64(t0),解得t=3,则F(0,0,3),EF=(0,1,0),B(0,1,0),E(0,-1,3),AB=(-3,1,0),AF=(-3,0,3),设平面AFB的法向量m=(x,y,z),则ABm=-3x+y=0,AFm=-3x+3z=0,取x=1,得m=(1,3,1),设平面A
14、FE的法向量n=(x,y,z),则EFn=y=0,AFn=-3x+3z=0,取x=1,得n=(1,0,1),设二面角B-AF-E的平面角为,由图形得为钝角,则cos=-|mn|m|n|=-252=-105.二面角B-AF-E的余弦值为-105.19.(本小题满分12分)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x
15、2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4.从而抛物线的方程是y2=8x.(2)因为p=4,所以4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD平面PAD,ADBC,AB=BC=AP=12AD,ADP=30,BAD=90,
16、E是PD的中点.(1)证明:PDPB;(2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为105,求二面角M-AB-P的余弦值.(1)证明平面ABCD平面PAD,平面ABCD平面PAD=AD,BAD=90,所以ABAD.由面面垂直的性质定理得AB平面PAD,ABPD,在PAD中,AP=12AD,ADP=30,APD=90,即PDAP,PD平面PAB,PDPB.(2)解以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,1,1),C32,12,1,E32,0,0,设M32a,12a,a(0a1),则BM=32a,12a-1,a-1,CE=0,-12,-1,cos=BMCE|B
17、M|CE|=32-54a2a2-3a+252=105,得a=23,BM=33,-23,-13,而AB=(0,0,1),设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),由nBM=0,nAB=0,可得3x-2y-z=0,z=0,令x=2,则n=(2,3,0),取平面PAB的法向量m=(1,0,0),则cos=mn|m|n|=27=277,故二面角M-AB-P的余弦值为277.21.(本小题满分12分)已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;(2)在线段BC上是否存在一点P,使APDE
18、?证明你的结论.解(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A0,0,a2,Ba2,0,0,C0,32a,0,E0,34a,a4,Fa4,34a,0,设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则DFn=0,DEn=0,即a4x+34ay=0,34ay+az4=0,取n=(3,-3,3).又因为BC=-a2,32a,0,于是cos=BCn|BC|n|=-3aa21=-217,因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于1-2172=277.(2)存在.假设在线段BC上存在一点,使APDE,令BP=BC,即BP=-a2,3
19、2a,0=-a2,32a,0,则Pa2-a2,32a,0,于是AP=a2-a2,32a,-a2.因为APDE,所以APDE=0,即a2-a2,32a,-a20,34a,a4=0,则38a2-18a2=0,解得=13.故线段BC上存在一点P,使APDE.22.(本小题满分12分)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且F1Q+F1F2=0,过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-3=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,问在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由.解(1)设椭圆C的焦距为2c(c0),则点F1的坐标为(-c,0),点F2的坐标为(c,0),设点Q的坐标为(x0,0),且x00,所以,m=13t2+40,14.因此,在x轴上存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,且实数m的取值范围是0,14.
