1、2016年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1若集合，B=x|4x3，则集合AB为（）Ax|5x3Bx|4x2Cx|4x5Dx|2x32已知i为虚数单位，若复数z满足（34i）z=1+2i，则z的共轭复数是（）ABCD3已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立4已知，则tan（）的值为（）ABCD5在二项式的展开式中，第四项的系数为（）A56B7C56D76若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1C
2、D97已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A9B9+C12D128已知某程序框图如图所示，则执行该程序框图输出的结果是（）AB1C2D29双曲线（a0，b0）的一条渐近线与抛物线y=x2+2只有一个公共点，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD10已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，ABC是边长为的正三角形，若三棱锥SABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B18C20D2411定义域为R的偶函数f（x）满足对xR，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，
3、则a的取值范围是（）ABCD12已知函数在x=x0处取得最大值，给出下列5个式子：f（x0）x0，f（x0）=x0，f（x0）x0，则其中正确式子的序号为（）A和B和C和D和二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知a0，b0，且a+b=2，则的最小值为_14已知ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为_15已知向量、是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，向量=+， =5+3，将有向线段绕点A旋转到位置，使得，则的值是_16已知抛物线y2=ax（a0）的准线方程为x=3，ABC为等边三角形，且其顶点在此抛物线上，O是坐标原点，则ABC的边长为_三、解答题：本大题共5小题，共70分解
4、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an的公差d=2，其前项和为Sn，且等比数列bn满足b1=a1，b2=a4，b3=a13（）求数列an的通项公式和数列bn的前项和Bn；（）记数列的前项和为Tn，求Tn18如图1，已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为边AD、AB的中点将ABC沿BE折起，使平面ABE平面BCDE如图2，点G为AC的中点（）求证：DG平面ABE；（）求直线CE与平面ABC所成角的正弦值19某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的
5、频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150）总计频数b频率a0.25（）求表中a，b的值及成绩在90，110）范围内的个体数；（）从样本中成绩在100，130）内的个体中随机抽取4个个体，设其中成绩在100，110）内的个体数为X，求X的分布列及数学期望E（X）；（）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取3个，求其中恰好有1个成绩及格的概率（成绩在90，150）内为及格）附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相独立20已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点
6、，直线A1M的斜率为（）求椭圆的离心率；（）若A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程21已知函数f（x）=x2+alnx（aR）（）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数g（x）=f（x）2x+2x2，讨论函数g（x）的单调性；（）若（）中函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），且不等式g（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围考生注意：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD为正方形，以
7、AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP（）证明：CP是圆E的切线；（）求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上已知曲线C1上的点对应的参数为，曲线C2过点（）求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；（）若点P在曲线上C1，求P，C2两点间的距离|PC2|的最大值选修4-5不等式选讲24设函数f（x）=ax+3|2x1|（）若a=1，解不等式f（x）2；（）若函数有最
8、大值，求a的取值范围2016年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的1若集合，B=x|4x3，则集合AB为（）Ax|5x3Bx|4x2Cx|4x5Dx|2x3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x+5）（x2）0，解得：5x2，即A=x|5x2，B=x|4x3，AB=x|4x2，故选：B2已知i为虚数单位，若复数z满足（34i）z=1+2i，则z的共轭复数是（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利
9、用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案【解答】解：由（34i）z=1+2i，得=，故选：C3已知命题p：“a0，有ea1成立”，则p为（）Aa0，有ea1成立Ba0，有ea1成立Ca0，有ea1成立Da0，有ea1成立【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则p：a0，有ea1成立，故选：C4已知，则tan（）的值为（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan的值，利用诱导公式求得tan，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值【解答】解：已知，cos=，tan=tan
10、，tan=，则tan（）=，故选：A5在二项式的展开式中，第四项的系数为（）A56B7C56D7【考点】二项式定理的应用【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得第四项的系数【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=，故第四项为T4=（），故第四项的系数为（）=7，故选：D6若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A0B1CD9【考点】简单线性规划的应用【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Zmin=3
11、x+2y=30=1故选B7已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A9B9+C12D12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积【解答】解：应用可知三棱锥的高为：，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：，解得a=2侧棱长为： =2，正三棱锥是正四面体，该三棱锥的表面积为：4=12故选：D8已知某程序框图如图所示，则执行该程序框图输出的结果是（）AB1C2D2【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，依次写出每次循环得到的a
12、，i的值，当i=21时，满足条件，计算即可得解【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈 2 是第二圈1 3 是第三圈 2 4 是第18圈 2 19 是第19圈 20 是第20圈1 21 否故最后输出的a值为1故选：B9双曲线（a0，b0）的一条渐近线与抛物线y=x2+2只有一个公共点，则该双曲线的离心率为（）A3B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】可设双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线为y=x，由题意可得x2x+2=0有两个相等的实数解，运用判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：可设双曲线
13、=1（a0，b0）的一条渐近线为y=x，由渐近线与抛物线y=x2+2只有一个公共点，可得x2x+2=0有两个相等的实数解，即有=8=0，即b=2a，可得c=3a，即有e=3故选：A10已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，ABC是边长为的正三角形，若三棱锥SABC的体积为，则球O的表面积为（）A16B18C20D24【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题【解答】解：根据题意作出图形设球心为O，球的半径r过ABC
14、三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1=1，OO1=，高SD=2OO1=2，ABC是边长为的正三角形，SABC=，V三棱锥SABC=2=，r=则球O的表面积为20故选：C11定义域为R的偶函数f（x）满足对xR，有f（x+2）=f（x）f（1），且当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，若函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对xR，有f（x+2）=f（x）f（1），可以令x=1，求出f（1），再求出函数f（x
15、）的周期为2，当x2，3时，f（x）=2x2+12x18，画出图形，根据函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；【解答】解：因为 f（x+2）=f（x）f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=1 所以 f（1+2）=f（1）f（1），f（1）=f（1）即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x2，3时，f（x）=2x2+12x18=2（x3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线函数y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，f（x）0，g（x）0，可得a1，要使函数y=f
16、（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，令g（x）=loga（|x|+1），如图要求g（2）f（2），可得就必须有 loga（2+1）f（2）=2，可得loga32，3，解得a又a0，0a，故选A；12已知函数在x=x0处取得最大值，给出下列5个式子：f（x0）x0，f（x0）=x0，f（x0）x0，则其中正确式子的序号为（）A和B和C和D和【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求函数的定义域和函数的导数，研究函数单调性和极值，利用极值、最值的关系确定f（x0）的值，进行判断即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），f（x）=（）lnx，函数的导数f（x）=（）lnx=
17、，设h（x）=lnxx1，则h（x）=，则当x0时，h（x）0，即h（x）在（0，+）上为减函数，h（1）11=20，当x0时，h（x）0，在（0，1）内函数h（x）有唯一的零点x0，即h（x0）=lnx0x01=0，即lnx0=1x0，当0xx0，f（x）0，当xx0，f（x）0，即函数f（x）在x=x0处取得最大值，即f（x0）=（）lnx0=（）（1x0）=x0，正确；h（）=ln=ln20，0x0，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知a0，b0，且a+b=2，则的最小值为+【考点】基本不等式【分析】由题意整体代入可得=（）（a+b）=（3+），由基本不等式可
18、得【解答】解：a0，b0，且a+b=2，=（）（a+b）=（3+）（3+2）=+，当且仅当=即b=a时取等号，结合a+b=2可解得a=22且b=42，故答案为： +14已知ABC的周长为，面积为，且，则角C的值为【考点】正弦定理【分析】由正弦定理得出a+b=，结合周长得出c和a+b，根据面积公式得出ab，利用余弦定理计算cosC【解答】解：，a+b=a+b+c=，解得c=1a+b=S=，ab=cosC=C=故答案为15已知向量、是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，向量=+， =5+3，将有向线段绕点A旋转到位置，使得，则的值是6或10【考点】平面向量数量积的运算【分析】求出A，B的坐标，根据A
19、BC为等腰直角三角形列出方程求出C点坐标，利用坐标计算数量积【解答】解：=+， =5+3，A（1，1），B（5，3）kAB=|AB|=2设C（x，y），则kAC=，|AC|=，|AB|=|AC|，解得或=5x+3y=6或10故答案为：6或1016已知抛物线y2=ax（a0）的准线方程为x=3，ABC为等边三角形，且其顶点在此抛物线上，O是坐标原点，则ABC的边长为24【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线方程，根据抛物线的对称性可知ABC一个顶点为原点，另两点关于x轴对称，利用等边三角形的性质解出其中一个顶点的坐标即可得出答案【解答】解：抛物线y2=ax（a0）的准线方程为x=3，抛物线方
20、程为y2=12x由抛物线的对称性可知ABC的一个顶点A为原点，另两个顶点B，C关于x轴对称设B在第一象限，坐标为（m，n），则n=12m，解得m=36ABC的边长为2n=24故答案为：24三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知等差数列an的公差d=2，其前项和为Sn，且等比数列bn满足b1=a1，b2=a4，b3=a13（）求数列an的通项公式和数列bn的前项和Bn；（）记数列的前项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（I）由题意可得：an=a1+2（n1），=b1b3， =a1（a1+24），解得a1，
21、可得an设等比数列bn的公比为q，则q=可得数列bn的前项和Bn（）由（I）可得：Sn=n2+2n因此=利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（I）由题意可得：an=a1+2（n1），=b1b3， =a1（a1+24），解得a1=3an=3+2（n1）=2n+1设等比数列bn的公比为q，则q=3数列bn的前项和Bn=（）由（I）可得：Sn=n2+2n=数列的前项和为Tn=+=18如图1，已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为边AD、AB的中点将ABC沿BE折起，使平面ABE平面BCDE如图2，点G为AC的中点（）求证：DG平面ABE；（）求直线CE与平面ABC所成角的正弦值【考点】直线与平面
22、所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（I）连接FG，EF，则四边形为平行四边形，于是DGEF，从而得出DG平面ABE；（II）以O为原点建立坐标系，求出和平面ABC的法向量，则|cos|即为直线CE与平面ABC所成角的正弦值【解答】证明：（I）连接FG，EFF，G分别是AB，AC的中点，FGBC，又DEBC，FGDE四边形DEFG是平行四边形，DGEF，又DG平面ABE，EF平面ABE，DG平面ABE（II）在图1中，E，F分别是正方形AD，AB的中点，BECF故在图2中，OFBE，OCOB平面ABE平面BCDE，平面ABE平面BCDE=BE，OF平面BCDE以O为原点，以OB，OC，OF为
23、坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，），B（，0，0），C（0，0），E（，0，0）=（，0），=（，0，），=（，0），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1得=（2，1，4）=2cos=直线CE与平面ABC所成角的正弦值位|cos|=19某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150）总计频数b频率a0.25（）求表中a，b的值及成绩在90，110）范
24、围内的个体数；（）从样本中成绩在100，130）内的个体中随机抽取4个个体，设其中成绩在100，110）内的个体数为X，求X的分布列及数学期望E（X）；（）若把样本各分数段的频率看作总体相应各分数段的概率，现从全校高三期中考试数学成绩中随机抽取3个，求其中恰好有1个成绩及格的概率（成绩在90，150）内为及格）附注：假定逐次抽取，且各次抽取互相独立【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由茎叶图知成绩在50，70）范围内的有2 人，成绩在110，130）范围内的有3人，由此能求出表中a，b的值及成绩在90，110）范围内的个体数（）由茎叶图知成绩
25、在100，130）内的共有7人，其中成绩在100，110）内的共有4人，于是X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望E（X）（）该校高三期中考试数学及格率为p=10.10.25=0.65，设随机抽取3个，其中恰有一个成绩及格的事件为A，由此能求出恰好有1个成绩及格的概率【解答】解：（）由茎叶图知成绩在50，70）范围内的有2 人，成绩在110，130）范围内的有3人，a=0.1，b=3，成绩在90，110）范围内的频率为：10.10.250.25=0.4，成绩在90，110）范围内的样本数为200.4=8（）由茎叶图知成绩在100，130）内的共有7人，
26、其中成绩在100，110）内的共有4人，于是X的可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，X的分布列为： X 1 2 3 4 PEX=（）该校高三期中考试数学及格率为p=10.10.25=0.65，设随机抽取3个，其中恰有一个成绩及格的事件为A，则根据题设有：P（A）=0.23887520已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M的斜率为（）求椭圆的离心率；（）若A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）首先，得到点M的坐标，然后，代入，得到
27、，从而确定其斜率关系；（）首先，得到A1（2c，0），然后，可以设外接圆圆心设为P（x0，0），结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可【解答】解：（）由题意因为A1（a，0），所以将b2=a2c2代入上式并整理得（或a=2c）所以（）由（）得a=2c，（或）所以A1（2c，0），外接圆圆心设为P（x0，0）由|PA1|=|PM|，得解得：所以所以A1MN外接圆在M处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC方程为，即与椭圆方程3x2+4y2=12c2联立得7x218cx+11c2=0解得由弦长公式得解得c=1所以椭圆方程为21已知函数f（x）=x2+alnx（aR）（）当a=2
28、时，求函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数g（x）=f（x）2x+2x2，讨论函数g（x）的单调性；（）若（）中函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），且不等式g（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出g（x）的导数，分类讨论，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（）不等式g（x1）mx2恒成立即为m，求得=1x1+2x1lnx1，令h（x）=1x+2xlnx（0x），求出
29、导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围【解答】解：（）因为当a=2时，f（x）=x2+2lnx，所以f（x）=2x+因为f（1）=1，f（1）=0，所以切线方程为y=1；（）g（x）=x22x+alnx的导数为g（x）=2x2+=，a0，单调递增区间是（，+）；单调递减区间是（0，）；0a，单调递增区间是（0，），（，+）；单调递减区间是（，）；a，g（x）的单调递增区间是（0，+），无单调递减区间；（）由（II）函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），0a，x1+x2=1，0x1，x21=1x1+2x1lnx1，令h（x）=1x+2xlnx（0x），h（x）=+2
30、lnx，由0x，则0，又2lnx0，则h（x）0，即h（x）在（0，）递减，即有h（x）h（）=ln2，即mln2，即有实数m的取值范围为（，ln2考生注意：请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P，过点P作圆C的切线PF交AD于点F，连接CP（）证明：CP是圆E的切线；（）求的值【考点】圆的切线的判定定理的证明【分析】（）证明：CP是圆E的切线，只需证明CPPE即可；（）证明F
31、D=FP，利用勾股定理，即可求的值【解答】（）证明：连接PB，PE，则EB=EP，EPB=EBPCP=CB，CPB=CBP，CPB+EPB=CBP+EBP=90，CPPE，PE是圆E的半径，CP是圆E的切线；（）解：由题意，PFCP，EPCP，E，P，F三点共线，FD为圆的切线，FD=FPPE=EB，RtEAF中，AF2+AE2=EF2，（ADPF）2+（）2=（PF+）2，AD=3PF，AF=2PF，=2选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直
32、于极轴的直线上已知曲线C1上的点对应的参数为，曲线C2过点（）求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；（）若点P在曲线上C1，求P，C2两点间的距离|PC2|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）点对应的参数为，代入曲线C1可得，解得b，a即可得出曲线C1的直角坐标方程曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上可得极坐标方程为=2Rsin，把点代入即可得出曲线C2的直角坐标方程（II）不妨设P（6cos，2sin），C2（0，2），则=+，再利用三角函数与二次函数的单调性即可得出【解答】解：（I）点对应的参数为，代入曲线C1可得，解得b=2，a
33、=6曲线C1的直角坐标方程为=1曲线C2是经过极点的圆，且圆心C2在过极点且垂直于极轴的直线上极坐标方程为=2Rsin，曲线C2过点，2=2Rsin，解得R=2圆心为（0，2），可得曲线C2的直角坐标方程为：x2+（y2）2=4（II）不妨设P（6cos，2sin），C2（0，2），则=36cos2+（2sin2）2=+，P，C2两点间的距离|PC2|的最大值为选修4-5不等式选讲24设函数f（x）=ax+3|2x1|（）若a=1，解不等式f（x）2；（）若函数有最大值，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义【分析】（）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最大值的充要条件，即可求得【解答】解：（）由题意得x时，不等式化为x+33x+12，解得：x2，x时，不等式化为x+3+2x12，解得：x0，综上，不等式的解集是（，02，+）；（）由题意得f（x）=，函数有最大值的充要条件是a+20且a20，即2a22016年9月17日
