1、嘉定一中2020学年第一学期高三年级测试数学试题 2020.09（满分150分 答题时间120分钟）学生注意：1本试卷包括试题纸和答题纸两部分2在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分1已知全集，集合，则_2设复数z满足（i为虚数单位），则_3已知函数，则_4不等式的解集是_5设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则_6已知二项式，则展开式中的系数为_7已知边长为1的正方形绕旋转形成一个圆柱，则该
2、圆柱的表面积为_8已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则_92021年起，多省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择物理和化学的概率为_10设数列的首项，且满足与，则_11若均为非负实数，且，则的最小值为_12已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是_二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件
3、B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件14在下列函数中，定义域R的偶函数是（ ）A B C D15如图所示，在正方体中，点P是平面上一点，且满足为正三角形点M为平面内的一个动点，且满足则点M在正方形内的轨迹为（ ）A B C D16已知在R上的减函数，若不等式成立，函数的图象关于点中心对称，则当时，的取值范围是（ ）A B C D三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分如图，在长方体中，M为上一点（1）求直线与底面所成角的大小；（2）若，求点A到
4、平面的距离18（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知（1）若，求方程的解；（2）若关于x的方程在上有两个不同解，求实数k的取值范围19（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向千米处（1）在道路处有一个巡更点P，且P、C两点间的距离为1千米，求的距离；（2）保安甲从值班室C出发沿前往值班室A，保安乙从值班室A出发沿前往值班室B，若甲乙同时出发且保持匀速行走，其中甲的速度为4千米/小时，其中乙的速度为3千米/小时，期间甲乙两人配有最大通话
5、距离为3千米（含3千米）的对讲机，试问两人在巡逻过程中不能保持通话的时间长为多久？20（本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第）小题6分已知椭圆的左右焦点分别为，且椭圆上一点P，满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，若椭圆C上存在点Q，使得四边形是平行四边形（其中O为坐标原点，点P在第一象限），求直线与的斜率之积：（3）记圆为椭圆C的“关联圆”过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线的横、纵截距分别为m、n，求证：为定值21（本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知数列都是单调递增数
6、列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列（1）设数列、分别为等差、等比数列，若，求；（2）设的首项为1，各项为正整数，若新数列是等差数列，求数列的前n项和；（3）设（q是不小于2的正整数），是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分1【答案】： 2【答案】：23【答案】： 4【答案】：5【答案】： 6【答案】：107
7、【答案】： 8【答案】：9【答案】： 10【答案】：205611【答案】：3 12【答案】：二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13【答案】：A 14【答案】：B 15【答案】：A 16【答案】：D三、解答题（本大题满分16分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17【答案】：（1）；（2）18【答案】：（1），则若，即或，解得或，所以，若，即，解得，所以故方程的解为或（2）不妨设，根据题意可得若，则有两根、，根据根与系数关系不符合题意，故，所
8、以可得且，所以故实数k的取值范围是19【答案】：（1）在中，所以，在C中，由余弦定理可得，即；（2）在中，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知，设甲在线段上的位置为点M，则，当时，设乙在线段上的位置为点Q，则，如图所示，在中，由余弦定理得解得或，所以；当时，乙在值班室B处，在中，由余弦定理得，解得或，又，不合题意舍去综上所述时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时20 【答案】：（1）解：根据题意可得，故椭圆C的标准方程（2）解：因为四边形是平行四边形，所以且轴，所以，代入椭圆C的方程，解得因为点P在第一象限，所以，坐标为，同理可得坐标为，所以（3）证明：由（1）得椭圆C的方
9、程为，圆O的方程为连结，由题意可知，所以四边形的外接圆是以为直径的圆设，则四边形的外接圆方程为即-，得直线的方程为令，则；令，则所以因为点P在椭圆C上，所以，所以21【答案】：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题意，得，解得或3因为数列单调递增，所以，所以，所以因为，所以（2）设等差数列的公差为d，又，且，所以，所以因为是中的项，所以设，即当时，解得，不满足各项为正整数；当时，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以；当时，此时，只需取，由，得是奇数，是正偶数，m有正整数解，所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以综上所述，数列的前n项和或（3）存在等差数列，只需首项，公差下证与之间数列的项数为即证对任意正整数n，都有即成立由所以首项，公差的等差数列符合题意