1、江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二数学下学期4月月考试题 理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知是虚数单位，的虚部是（ ）A B C D2设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（ ）A， B，C， D，3设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）A B C D5表示空间中的两条直线，若：是异面直线；：不相交，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必
2、要条件 D既不充分也不必要条件6如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（ ）7已知是虚数单位，得“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8已知长方体中，、与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）A B C D9某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（ ）A B C D10如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，有下列结论：平面；平面平面；直线与所成角的大小为其中正确结论的序号是（ ）A B C D11在中，为的中点，将沿折起，使点间的距离为，则折
3、起后点 到平面的距离为（ ）A B C1 D12如图，在中，若平面外的点和线段上的点，满足，则四面体的体积最大时其外接球的表面积是（ ）A B C D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13已知，是虚数单位，若为纯虚数，则_14如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是_ 15已知正方体的棱长为，是线段上的一点且，是平面内一动点，则的最小值是_ 16如图，在直角梯形中， ，点是线段上异于点的动点， 于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算
4、步骤 17（本题满分10分）如图，在三棱锥中，（1）根据图中所给的主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）上已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证： 18（本题满分12分）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积19（本题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形，为的重心（1）设，若平面，求实数的值；（2）若平面，且，求异面直线与所成的角20（本题满分12分）如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，是线段，上的两个动点（不含端点），且，平面与平面相交于（1）求证
5、：；（2）为上一个动点，求平面与平面所成锐二面角的最小值21（本题满分12分）如图甲，设正方形的边长为3，点分别在上，且满足，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上，如图乙所示（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值22（本题满分12分）如图，在三棱锥中，若，且（1）求证：平面平面；（2）若，试问在线段上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由江西师大附中高二（理）数学月考答案 命题人： 审题人： 20214一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知是虚数单位，的虚部是
6、（）AAB C D2设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则能得出的是（）CA， B，C， D，3设，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）DA第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限4在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过，作正方体的截面，则这个截面的面积为（）CA B CD5表示空间中的两条直线，若：是异面直线；：不相交，则是的（A）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视图不可能是（）C7已知是虚数单位，得“”是“”的（）AA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不
7、充分也不必要条件8已知长方体中，、与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为()AABC D9某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）BA B C D10如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，、分别为侧棱，的中点，有下列结论：平面；平面平面；直线与所成角的大小为其中正确结论的序号是（）BABC D11在中，为的中点，将沿折起，使点间的距离为，则折起后点到平面的距离为（）AA B C1 D12如图，在中，若平面外的点和线段上的点，满足，则四面体的体积最大时其外接球的表面面积是（）DA B C D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13已知，是虚数单位
8、，若为纯虚数，则_14如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是_15已知正方体的棱长为，是线段上的一点且，是平面内一动点，则的最小值是_16如图，在直角梯形中，点是线段上异于点的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本题满分10分）如图，在三棱锥中，（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）中已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；（2）求证：【解析】（1）三棱锥的左视图和俯视图如图所示5分注：对一
9、个给3分，全对得5分（2）因为，由勾股定理得，7分从而， 9分所以 10分18（本题满分12分）如图，在正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.（1）求此正四棱台的侧面积；（2）求此正四棱台的体积【解析】（1）如图，连接，作，易知平面，1分再作，连接，则，2分在梯形中，易得， 4分所以此正四棱台的侧面积为；6分（2）在，8分所以此正四棱台的体积为；12分19（本题满分12分）在四棱锥中，底面为正方形，为的重心（1）设，若平面，求实数的值；（2）若平面，且，求异面直线与所成的角【解析】（1）连接并延长交于，连接，1分因为平面，所以，3分由为的重心，得，5分从而，故；6分（2）分别
10、在取线段的中点，连接，7分易证， 8分从而异面直线与所成的角为或其补角，9分设，易得，10分由平面，得，从而得，11分在中，所以，故异面直线与所成的角为12分20（本题满分12分）如图，四边形是一个边长为2的菱形，且，现沿着将折到的位置，使得平面平面，是线段，上的两个动点（不含端点），且，平面与平面相交于（1）求证：；（2）为上一个动点，求平面与平面所成锐二面角的最小值【解析】（1）证明：因为，所以，2分因为平面，平面，平面，4分平面与平面相交于，平面，所以； 6分（2）取中点，连接，则平面，且，7分过点作于，连接，则，所以为所求锐二面角的平面角，记为， 8分所以，当最大时，最小，9分因为，所
11、以在以为直径的圆上，当与重合时，的最大值为1，11分所以，从而的最小值为12分21（本题满分12分）如图甲，设正方形的边长为3，点分别在上，且满足，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上，如图乙所示（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）在题图甲中，易知，从而在题图乙中有，2分又，从而平面平面，4分因为平面，所以平面；6分（2）如图（1），过点作于点，连接，因为平面，所以，又，所以平面，从而，所以为二面角的平面角8分在图（2）中有，又，所以三点共线，设的中点为，则，连接，可证，所以，则易知，所以， 10分， 11分在中，即二面角的余弦值为 12分22（本题满分12分）如图，在三棱锥中，若，且（1）求证：平面平面；（2）若，试问在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由【解析】（1）由得，1分设，由余弦定理得，2分进一步化简得，从而，3分取中点，因为，所以， 4分因为，所以，从而， 5分由且得平面，又平面，平面平面6分（2）作，由（1）知，平面，从而平面平面，连接，作，易知平面，且，连接，则为直线与平面所成的角，8分由题意知，设，从而，因为，所以在中，9分因为，所以，得，10分在中，由正弦定理得，11分从而，所以，因此为线段中点12分