1、模块复习课第 4 课时 利用向量解决平行与垂直、夹角问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知向量 a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),如果 ab,那么 x 等于()A.-1B.1C.-5D.5解析向量 a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),ab,2=24=-1-2,解得 x=1.故选 B.答案 B2.已知=(2,3),=(3,t),|=1,则 =()A.-3B.-2C.2D.3解析由=(1,t-3),|=12+(-3)2=1,得 t=3,则=(1,0).所以 =(2,3)(1,0)=21+30=2.故选 C.答案 C3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,N 分别是面
2、对角线 A1B 与 B1D1的中点,若=a,=b,1=c,则=()A.12(c+b-a)B.12(a+b-c)C.12(a-c)D.12(c-a)解析在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,N 分别是面对角线 A1B 与 B1D1的中点,=a,=b,1=c,=+1+1=12 1+1+12 11=12(1+)+1+12(+)=12(-c+b)+c+12(-a-b)=-12a+12c=12(c-a),故选 D.答案 D4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,N 是棱 AD 的中点,M 是棱 CC1上的点,且 CC1=3CM,则直线 BM 与B1N 所成的角的余弦值是()A.105B
3、.2515C.1020D.1030解析以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 N32,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),=(-3,0,1),1=-32,-3,-3.cos=1|1|=1030,故选 D.答案 D5.已知点 A(m,-2,n),点 B(-5,6,24)和向量 a=(-3,4,12),且 a,则点 A 的坐标为 .解析A(m,-2,n),B(-5,6,24),=(-5-m,8,24-n).又向量 a=(-3,4,12),且 a,=a,即-5-=-3,8=4,24-=12,解得=2,m=1,n=
4、0,点 A 的坐标为(1,-2,0).答案(1,-2,0)6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=23,则 MN 与平面BB1C1C 的位置关系是 .解析正方体棱长为 a,A1M=AN=23,=23 1,=23 .=+=23 1+23 =23(11+1)+23(+)=23 1+13 11.又 是平面 B1BCC1的法向量,=(23 1+13 11)=0.又 MN平面 B1BCC1,MN平面 B1BCC1.答案平行7.在四边形 ABCD 中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE
5、=BE,则 =.解析ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30.AEB=120.在AEB 中,EA=EB=2,=(+)()=-2+=-12+232cos30+523cos30+52cos180=-22+6+15=-1.答案-18.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,BAA1=45,平面 AA1C1C平面 AA1B1B.(1)求证:AA1BC;(2)若 BB1=2AB=2,直线 BC 与平面 ABB1A1所成角为 45,D 为 CC1的中点,求二面角 B1-A1D-C1的余弦值.(1)证明过点 C 作 COAA1,垂足为 O,因为平面 AA1C1C平面 AA1
6、B1B,所以 CO平面 AA1B1B,故COOB.又因为 CA=CB,CO=CO,COA=COB=90,所以 RtAOCRtBOC,故 OA=OB.因为A1AB=45,所以 AA1OB.又因为 AA1CO,所以 AA1平面 BOC,故 AA1BC.(2)解以 O 为坐标原点,OA,OB,OC 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,因为 CO平面 AA1B1B,所以CBO 是直线 BC 与平面 AA1B1B 所成角,故CBO=45,所以 AB=2,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(-1,0,0),B1(-2,1,0),D(-1,0,1),
7、设平面 A1B1D 的法向量为 n=(x1,y1,z1),则1=0,1=0,所以1=0,1-1+1=0,令 x1=1,得 n=(1,1,0),因为 OB平面 AA1C1C,所以 为平面 A1C1D 的一条法向量,=(0,1,0),cos=|=22,所以二面角 B1-A1D-C1的余弦值为22.9.如图,AE平面 ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF平面 ADE;(2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值;(3)若二面角 E-BD-F 的余弦值为13,求线段 CF 的长.(1)证明依题意,可以建立以 A 为原点,分别以,的方向为 x 轴
8、、y 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设 CF=h(h0),则 F(1,2,h).依题意,=(1,0,0)是平面 ADE 的法向量,又=(0,2,h),可得 =0,又因为直线 BF平面ADE,所以 BF平面 ADE.(2)解依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则=0,=0,即-+=0,-+2=0,不妨令 z=1,可得 n=(2,2,1).因此有 cos=|=-49.所以,直线 CE 与平面 BDE 所成角的正
9、弦值为49.(3)解设 m=(x,y,z)为平面 BDF 的法向量,则=0,=0,即-+=0,2+=0,不妨令 y=1,可得 m=1,1,-2.由题意,有|cos|=|=|4-2|32+42=13,解得 h=87,经检验,符合题意.所以,线段 CF 的长为87.能力提升1.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,点 M 在 AC1上且=12 1,N 为 B1B 的中点,则|为()A.216 aB.66 aC.156 aD.153 a解析以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N(,2).设 M(x,y,z),点 M 在 AC1上且
10、=12 1,(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z).x=23a,y=3,z=3.M(23,3,3),|=(-23)2+(-3)2+(2-3)2=216 a.答案 A2.已知 ABCD-A1B1C1D1为正方体,则二面角 B-A1C1-A 的余弦值为()A.23B.22C.63D.32解析以 D 为原点,直线 DA 为 x 轴,直线 DC 为 y 轴,直线 DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系.设正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则 A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),11=(-1,1,0),1=(0,0,-1),1=(0,1,-1
11、).设平面 A1C1A 的法向量 n=(x,y,z),则11=-+=0,1=-=0,取 x=1,得 n=(1,1,0).设平面 A1C1B 的法向量 m=(a,b,c),则11=-+=0,1=-=0,取 a=1,得 m=(1,1,1).设二面角 B-A1C1-A 的平面角为,则 cos=|=223=63.二面角 B-A1C1-A 的余弦值为63.故选 C.答案 C3.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,设 AD=AA1=1,AB=2,P 是 C1D1的中点,则1 与1 所成角的大小为 ,1 1=.解析以 D 为坐标原点,以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空
12、间坐标系,如图所示.AD=AA1=1,AB=2,P 是 C1D1的中点,B1(1,2,1),C(0,2,0),A1(1,0,1),P(0,1,1).1=(-1,0,-1),1=(-1,1,0).1 1=1+0+0=1,|1|=2,|1|=2.设1 与1 所成角为,cos=122=12,=60.答案 60 14.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,M 为 A1C1的中点,N 为 BB1的中点,则直线 CM 与 AN所成的角的余弦值为 .解析以 A 为原点,在平面 ABC 内过 A 作 AC 的垂线为 x 轴,AC 为 y 轴,AA1为 z 轴,建立空间直角坐标系,设正三棱柱 AB
13、C-A1B1C1的所有棱长都为 2,则 C(0,2,0),M(0,1,2),A(0,0,0),N(3,1,1),=(0,-1,2),=(3,1,1),设直线 CM 与 AN 所成的角为,则 cos=|=155=15.直线 CM 与 AN 所成的角的余弦值为15.故答案为15.答案155.在四面体 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到平面 ABC 的距离为 .解析根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz,则 P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点 P 作 PH平面 ABC,交平面 ABC 于点 H,则
14、PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离.PA=PB=PC,H 为ABC 的外心.又ABC 为正三角形,H 为ABC 的重心,可得 H 点的坐标为(3,3,3).PH=(3-0)2+(3-0)2+(3-0)2=33 a.点 P 到平面 ABC 的距离为33 a.答案33 a6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=23,PAD=60,AB平面 PAD,点 M在棱 PC 上.(1)求证:平面 PAB平面 PCD;(2)若直线 PA平面 MBD,求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值.解(1)证明:因为 AB平面 PAD,所以 ABDP.又因
15、为 DP=23,AP=2,PAD=60,由sin=sin,可得 sinPDA=12,所以PDA=30,所以APD=90,即 DPAP,因为 ABAP=A,所以 DP平面 PAB,因为 DP平面 PCD,所以平面 PAB平面 PCD.(2)由 AB平面 PAD,以点 A 为坐标原点,在平面 PAD 中,过点 A 作 AD 的垂线为 x 轴,AD,AB 所在直线分别为 y 轴、z 轴,如图所示建立空间直角坐标系.其中 A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,4,3),D(0,4,0),P(3,1,0).从而=(0,4,-1),=(3,1,0),=(-3,3,3),设=,从而得 M(3(1-),
16、3+1,3),=(3(1-),3+1,3-1),设平面 MBD 的法向量为 n=(x,y,z),若直线 PA平面 MBD,满足=0,=0,=0,即3(1-)+(3+1)+(3-1)=0,4-=0,3+=0,得=14,取 n=(3,-3,-12),且=(3,1,-1),直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值 sin=|=|3-3+12|1565=265 195.7.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA底面 ABCD,ABC=60,AB=3,AD=23,AP=3.(1)求证:平面 PCA平面 PCD;(2)设 E 为侧棱 PC 上的一点,若直线 BE 与底面 A
17、BCD 所成的角为 45,求二面角 E-AB-D 的余弦值.解(1)证明:在平行四边形 ABCD 中,ADC=60,CD=3,AD=23,由余弦定理得 AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=12+3-223 3cos60=9,AC2+CD2=AD2,ACD=90,即 CDAC,又 PA底面 ABCD,CD底面 ABCD,PACD.又 ACCD=C,CD平面 PCA.又 CD平面 PCD,平面 PCA平面 PCD.(2)如图,以 A 为坐标原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3
18、,3,0),P(0,0,3).设 E(x,y,z),=(01),则(x,y,z-3)=(0,3,-3),x=0,y=3,z=3-3,即点 E 的坐标为(0,3,3-3),=(-3,3,3-3).又平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),sin45=|cos|=|3-3|3+92+(3-3)2,解得=13.点 E 的坐标为(0,1,2),=(0,1,2),=(3,0,0),设平面 EAB 的法向量为 m=(x,y,z),由=0,=0,得 =0,+2=0,令 z=1,得平面 EAB 的一个法向量为 m=(0,-2,1),cos=|=15=55.又二面角 E-AB-D 的平面角为锐角,所以,二面角 E-AB-D 的余弦值为55.