1、第六章 计数原理一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）A1344B672C336D1682已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A80B160C240D3203在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有（ ）A34种B48种C96种D144种4二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）A4项B7项C5项D6项52019年4月25日-27
2、日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A198B268C306D3786已知展开式中所有项的系数的和为243，则含项的系数为（ ）A-160B160C-640D6407现有诗经尚书礼记周易春秋各一本，分给甲乙丙丁戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到诗经，且乙也没拿到春秋，则所有可能的分配方案有（ ）A18种B24种C36种D54种8设，则（ ）A2010B2011C2012D2013二、选择题：本题共4小题，每小题5分
3、，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）AB展开式中没有常数项C展开式所有二项式系数和为1024D展开式所有项的系数和为25610关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）A各项系数之和为1B各项系数的绝对值之和为212C存在常数项Dx3的系数为4011若，则下列结论中正确的有（ ）ABCD12若（），则（ ）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13我们想把9张写着19的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则
4、不同的放法有_种.14已知，则_.15在的展开式中，与项的系数和为_.（结果用数值表示）16已知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则非零常数的值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求的值及展开式中项的系数（2）求展开式中的常数项18有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都
5、相等.（1）在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率.19已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）20已知（1）求的值；（2）求的值.21
6、（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值.（2）记，求；设，求和：.22（1）求证：，其中；（2）求证：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（ ）A1344B672C336D168【答案】B【解析】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128所以，解得，所以的展开式通项为：，令可得，所以该二项式展开式中含有项的系数为.故选：B.2已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A80B160C240D320【答案】D【解
7、析】令得，解得，则展开式的通项为，则展开式中常数项为故选：D3在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有（ ）A34种B48种C96种D144种【答案】C【解析】由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有种编排方法.故实施顺序的编排方法共有96(种).故选：C.4二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）A4项B7项C5项D6项【答案】D【解析】二项式的展开式中，通项公式为，时满足题意，共6项故选：D.52019年4月25日-27日，北京
8、召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A198B268C306D378【答案】A【解析】分两种情况：若选两个国内媒体一个国外媒体，有种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有种不同提问方式，所以共有种提问方式.故选：A.6已知展开式中所有项的系数的和为243，则含项的系数为（ ）A-160B160C-640D640【答案】A【解析】由展开式中所有项的系数和为243, 令,可得，解得，则展开式的通项公式为，当时，解得，所以展
9、开式中含项的系数为故选：A7现有诗经尚书礼记周易春秋各一本，分给甲乙丙丁戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到诗经，且乙也没拿到春秋，则所有可能的分配方案有（ ）A18种B24种C36种D54种【答案】D【解析】若甲拿到春秋，则乙有3种拿书方法，其他三人共有种方法，根据分步计数原理可知共有种方法；若甲没拿到春秋，则甲有3种拿书方法，乙有2种拿书方法，其他三人共有种方法，根据分步计数原理可知共有种方法；综上，共有54种分配方法.故选：D8设，则（ ）A2010B2011C2012D2013【答案】D【解析】在中，令，得，令，得，由题意知，故，于是，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，
10、共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ）AB展开式中没有常数项C展开式所有二项式系数和为1024D展开式所有项的系数和为256【答案】BD【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误； 因为， ，因为，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为，C错误；令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确故选：BD.10关于多项式的展开式，下列结论正确的是（ ）A各项系数之和为1B各项系数的绝对值之和为212C存在常数项Dx3的系数为40【答
11、案】BCD【解析】由题意令可得，各项系数之和为26，故A错误；多项式的展开式各项系数的绝对值之和与多项式的展开式各项系数之和相等，故令，得各项系数的绝对值之和为212，故B正确；由，易知该多项式的展开式中一定存在常数项，故C正确；由题中的多项式可知，若出现x3，可能的组合只有和，结合排列组合的性质可得x3的系数为，故D正确.故选：BCD.11若，则下列结论中正确的有（ ）ABCD【答案】AD【解析】，对于A，令，则，故A正确.对于B，于是，而，故B错误.对于C，令，则，于是，故C错误.对于D，令，则.因为，所以，故D正确.故选：AD.12若（），则（ ）ABCD【答案】ACD【解析】由题意，当
12、时，当时，当时，所以，当时，所以.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13我们想把9张写着19的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有_种.【答案】210【解析】由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为，当时，共有1种情况，即；当时，共有2种情况，即，；当时，共有5种情况，即，；当时，共有8种情况，即，；当时，共有6种情况，即，；当时，共有7种情况，即，；当时，共有4种情况，即，；当时，共有2种情况，即，.综上所述，共有35种情况，所以不同的放法共有：种.故答案为：210.14已知
13、，则_.【答案】【解析】，则展开式通项为，时，故答案为：15在的展开式中，与项的系数和为_.（结果用数值表示）【答案】【解析】因为展开式的通项公式为，所以的展开式中的系数为，项的系数为，即与项的系数和为故答案为：16已知的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则非零常数的值为_【答案】【解析】的展开式中含的项为：，的展开式中含的项为：，由，即，解得故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知的展开式中各项的二项式系数之和为32.（1）求的值及展开式中项的系数（2）求展开式中的常数项【答案】（1），项的系数为；（2）【解析】（1）由已知可得，因为令，
14、所以项的系数为.（2）求展开式中的常数项，即或，所以或，故常数项为.18有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等.（1）在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；（2）比赛进入决胜局，两队得分均为25分.在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率.【
15、答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示事件“一回中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是，AAA，A，共8个结果，其中只有三个结果，甲队得1分.设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球.甲队得1分”为事件，则，所以，甲队得1分的概率为；（2）打完四回合的所有可能结果是：，共10个结果，其中只有两个结果，甲队第四回合比乙队多2分，甲获胜.设“甲队在第四回合获比赛胜利”为事件，则.所以，甲队在第四回合获比赛胜利的概率为.19已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数（1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由；（2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推
16、广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）【答案】（1）函数在，上是减函数，在，上是增函数，理由见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）因为，所以函数的定义域为.设，.当时， 函数在上是增函数；当时, 函数在上是减函数;又，所以函数是偶函数，于是，该函数在上是减函数，在上是增函数，综上所述：函数在，上是减函数，在，上是增函数；（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数. 当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数；当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函
17、数, 在上是增函数.因为，所以在上是减函数，在上是增函数.所以，当或时，取得最大值；当时取得最小值.20已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.在中，令，得.在中，令，得，.（2）由二项式定理可得，1，2，2020.，.，.21（1）已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为，求的值.（2）记，求；设，求和：.【答案】（1）；（2）；.【解析】（1）的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1：4，即，解得.（2）由题意，令，得；由题意，又，.22（1）求证：，其中；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明（1）当为正偶数时，左边，所以左边=1=右边；当为正奇数时，左边，所以左边=1=右边.（2）要证明的等式的一般形式为：=，现证明此等式成立.右边=，由（1）可知，所以，设，当时，时，也成立，命题得证,当，显然也成立.18
