1、2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的定义2双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系式c2a2b2思考1：双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？提示双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b
2、2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b的大小关系不确定思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？提示焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上基础自测1思考辨析(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()提示(1)差的绝对值是常数，且02a|F1F2|才是双曲线(2)a与b大小
3、关系不定，a和b相等时叫等轴双曲线(3)2双曲线1的焦距为()A3 B4C3 D4D解a210，b22，c2a2b212，c2，2c4，故选D.3已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为_. 【导学号：73122127】1或1b2c2a2492524，双曲线方程为1或1.合 作 探 究攻 重 难双曲线定义的应用探究问题1如何理解双曲线定义中的“大于零且小于|F1F2|”？提示：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；若常数为零，其余
4、条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线2若|MF1|MF2|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？提示：(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线；若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.已知F1，F2是双曲线1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积. 【导学号：73122128】思路探究根据双曲线的定义及余弦定理求出F
5、1PF2即可解由1得a3，b4，c5.由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，又|PF1|PF2|32，|PF1|2|PF2|2100，由余弦定理得cosF1PF20，F1PF290，S|PF1|PF2|16.母题探究：1.(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离解由1得a3，b4，c5，由双曲线定义得|PF1|PF2|6，即|PF1|PF2|6，|PF2|106，点P到焦点F2的距离为4或16.2(变换条件)若把本例条件“|PF1|PF2|32”换成“|PF1|PF
6、2|25”，其他条件不变，试求F1PF2的面积解由1得a3，b4，c5，由|PF1|PF2|25，可设|PF1|2k，|PF2|5k.由|PF2|PF1|6可得k2，|PF1|4，|PF2|10，由余弦定理得cosF1PF2，sinF1PF2，S|PF1|PF2|sinF1PF24108.规律方法双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有(1)定义：|r1r2|2a.(2)余弦公式：4c2rr2r1r2cos .(3)面积公式：Sr1r2sin .一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式
7、，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)思路探究先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组求解解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b20，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为1.规律方法(1)求双曲线标准方程的两个关注点(2)待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤定位置：根据条件确
8、定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能设方程：根据焦点位置，设其方程为1或1(a0，b0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2ny21(mn0)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式跟踪训练2根据条件求双曲线的标准方程(1)c，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；(2)与椭圆1共焦点且过点(3，)解(1)设双曲线标准方程为1(a0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)椭
9、圆1的焦点坐标为(2，0)，(2，0)依题意，则所求双曲线焦点在x轴上，可以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则a2b220.又双曲线过点(3，)，1.a2202，b22.所求双曲线的标准方程为1.与双曲线有关的轨迹问题 如图221，在ABC中，已知|AB|4，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程. 【导学号：73122129】图221解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0). 由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin As
10、in C2sin B，2ac2b，即ba，从而有|CA|CB|AB|2|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)a，c2，b2c2a26，即所求轨迹方程为1(x)规律方法求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3如图222所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程图222解
11、圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程为1.当 堂 达 标固 双 基1若点M在双曲线1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF2|等于()【导学号：73122130】A2 B4C8 D12B双曲线中a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以3|MF2|MF2
12、|8，解得|MF2|4.2“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当方程表示双曲线时，一定有ab0，反之，当ab0时，若c0，则方程不表示双曲线3若方程3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是() 【导学号：73122131】A(1,2)B(2，) C(，2)D(2,2)C由题意，方程可化为3，解得：m2.4已知动圆M与圆C1：(x3)2y29外切且与圆C2：(x3)2y21内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_1(x2)设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切， 所以|MC1|r3，|MC2|r1.相减得|MC1|MC2|4.又因为C1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|64，所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有a2，c3.所以b25，所求的轨迹方程为1(x2)5根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2). 【导学号：73122132】解(1)设双曲线的标准方程为mx2ny21(mn0)，双曲线过P，Q，解得所求双曲线方程为1.(2)设双曲线方程为1.由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.