1、系列丛书 进入首页第五章 数列第五章 数列第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第二节 等差数列第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个
2、数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母 d 表示数学语言表达式：an1and(nN*)，d 为常数答案2 同一个常数 公差第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1判断正误(1)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数()答案：(1)(2)(3)第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点二 等差数列的通项公式与前 n 项和公式1若等差数列an的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式
3、为 an_.若等差数列an的第 m 项为 am，则其第 n 项 an 可以表示为 an_.2等差数列的前 n 项和公式Snna1an2_.(其中 nN*，a1 为首项，d 为公差，an 为第 n 项)第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）答案1a1(n1)d am(nm)d2na1nn12d第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2(必修P39 练习第 5 题改编)在等差数列an中，a24，a3a720，则 a8()A8B12C16D24解析：因为数列an是等差数列，由等差数列的性质得：a2a8a3a7，又 a24，a3a720，所以 a8a3
4、a7a220416.故选 C.答案：C第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3(2016北京卷)已知an为等差数列，Sn 为其前 n 项和若a16，a3a50，则 S6_.解析：设等差数列an的公差为 d，由已知得a16，2a16d0，解得a16，d2，所以 S66a11265d3615(2)6.答案：6第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 等差数列的基本运算【例 1】(1)(2016新课标全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27
5、，a108，则 a100()A100 B99 C98 D97(2)(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn 是其前 n 项和若a1a223，S510，则 a9 的值是_第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，因为an为等差数列，且 S99a527，所以 a53.又 a108，解得 5da10a55，所以 d1，所以 a100a595d98，选 C.(2)设等差数列an的公差为 d，则 a1a22a1(a1d)23，S55a110d10，解得 a14，d3，则 a9a18d42420.【答案】(1)C(2)20第五章第二节系列丛
6、书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项 a1 和公差 d.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S36，a30，则公差 d 等于()A1B1 C2D2(2)设等差数列an满足 a511，a123，其前 n 项和 Sn的最大值为 M，则 lgM()A1B1 C2D2第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版
7、 数学（文）解析：(1)由 S33a26，得 a22，又 a30，所以公差 d2.(2)由 a511，a123，得公差 d311125 2，所以 an11(n5)(2)212n，所以 a119，故 Sn19nnn12(2)n220n(n10)2100100，所以 M100，所以 lgM2.答案：(1)D(2)C第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点二 等差数列的判定与证明【例 2】已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令 bn1an1.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新
8、课标版 数学（文）【解】(1)证明：1an111an1anan1an11an113，bn1bn13，bn是等差数列(2)由(1)及 b11a11 1211.知 bn13n23，an1 3n2，ann5n2.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明 anan1d(n2，d 为常数)；二是等差中项法，证明 2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）若数列an满足 an2an12n1(nN*，n2)，
9、a327.(1)求 a1，a2 的值；(2)记 bn 12n(ant)(nN*)，是否存在一个实数 t，使数列bn为等差数列？若存在，求出实数 t；若不存在，请说明理由第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)由 a327,272a2231，得 a29，由 92a1221，得 a12.(2)假设存在实数 t，使得bn为等差数列则 2b2b1b3，即214(9t)12(2t)18(27t)，t1.bn12n(an1)bnbn112n(an1)12n1(an11)12n(2an12n11)12n1(an11)12n1an11 12n1 12n1an1 12n11.存
10、在一个实数 t1，使数列bn为等差数列第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三 等差数列的性质及应用考向 1 通项的性质应用【例 3】(1)已知数列an是等差数列，且 a1a4a72，则cos(a3a5)等于()A12B12C 32D 32(2)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为_第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】(1)因为 a1a4a73a42，所以 a423.又 a3a52a443，所以 cos(a3a5)cos43 12.故选 B.(2)设该数列为an，首、末项为 a1，a
11、n，当 n 为奇数 2k1 时，有 a1a2k121 010，a15；当 n 为偶数 2k 时，有 a1a2kakak121 010，a15.【答案】(1)B(2)5第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）考向 2 前 n 项和 Sn 的性质【例 4】(1)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a2a7a1224，则 S13()A52B78C104D208(2)两个等差数列的前 n 项和之比为5n102n1，则它们的第 7 项之比为()A2B3C4513D7027第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(3)设等差数列an的前 n 项和为 S
12、n，若 S39，S636，则 a7a8a9 等于()A63B45C36D27第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】(1)a2a7a1224，3a724，即 a78.S1313a1a13213a7104，故选 C.(2)设这两个数列的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则S13T1313a1a13213b1b132132a7132b7a7b7513102131 3，故选 B.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(3)由an是等差数列，得 S3，S6S3，S9S6 为等差数列即 2(S6S3)S3(S9S6)，得到 S9S62S63S345
13、，故选 B.【答案】(1)C(2)B(3)B第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)damanmn d(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn 为其前 n 项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn 表示数列an的前 n项和，则 S11()A18B99C198D297(2)(2017常德一模)
14、已知an为等差数列，若 a1a2a35，a7a8a910，则 a19a20a21_.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)因为 a3a927a6,2a6a3a9，所以 3a627，所以 a69，所以 S11112(a1a11)11a699.(2)法 1：设数列an的公差为 d，则 a7a8a9a16da26da36d518d10，所以 18d5，故 a19a20a21a712da812da912d1036d20.法 2：由等差数列的性质，可知 S3，S6S3，S9S6，S21S18 成等差数列，设此数列公差为 D.所以 52D10，所以 D52.所以 a1
15、9a20a21S21S1856D51520.答案：(1)B(2)20第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点四 等差数列前 n 项和的最值【例 5】已知在等差数列an中，a131，Sn 是它的前 n 项的和，S10S22.(1)求 Sn；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又 S10S22，a11a12a220，即12a11a2220，即 a11a222a131d0.又 a131，d2.Snna1nn12d31nn(n1)32nn2.第
16、五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)法 1：由(1)知，Sn32nn2(n16)2256，当 n16 时，Sn 有最大值 256.法 2：由(1)知，令an31n122n330，an131n22n310(nN*)，解得312 n332，nN*，n16 时，Sn 有最大值 256.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】求等差数列前 n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使 an0(an0)成立时最大的 n 值即可一般地，等差数列an中，若
17、a10，且 SpSq(pq)，则若 pq 为偶数，则当 npq2 时，Sn 最大；若 pq 为奇数，则当 npq12或 npq12时，Sn 最大.第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前 n 项和 Sn 的最大值为()AS15BS16CS15 或 S16DS17第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：解法 1：a129，S10S20，10a11092d20a120192d，解得 d2，Sn29nnn12(2)n230n(n15)2225.当 n15 时，Sn 取得最大值解法 2：S10
18、S20，a11a12a200，5(a15a16)0，又 a1290，a150，a160，S15 最大答案：A第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1要注意概念中的“从第 2 项起”如果一个数列不是从第 2项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d 是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式法：anpnq(p，q 为常数)an是等差数列(4)前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A，B 为常数)an是等差数列3方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量，通过建立方程(组)获得解第五章第二节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 32（点击进入）
