1、直线的一般式方程基础过关练题组一求直线的一般式方程1.(2021江西临川二中高二上第一次月考)已知直线l过点(0,3),且与直线x-y-1=0平行,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=02.过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为()A.x-2y+4=0B.2x+y-7=0C.x-2y+3=0D.x-2y+5=03.在平面直角坐标系中,直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90所得的直线方程是()A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0C.x-2y-4=0D.x+2y+4=04.已知直线l经过点P(2,3),且斜
2、率为-32.(1)求直线l的一般式方程;(2)求与直线l平行,且过点(-3,1)的直线的一般式方程;(3)求与直线l垂直,且过点(-3,1)的直线的一般式方程.题组二直线方程几种形式的相互转化5.(2021重庆八中高二上月考)直线3x+y+1=0的倾斜角为()A.6 B.3 C.23 D.-36.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=()A.3B.-2C.2D.-37.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)8.若ac0,bc0,则直线ax+by+c=0的图形可能是()9.直
3、线ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的三角形的面积是()A.12ab B.12ab C.12ab D.12|ab|题组三直线一般式方程的综合应用10.(2020北京清华大学附中高二上期中)若直线ax+2y-1=0与x-2y-1=0垂直,则a的值为()A.1B.-1C.4D.-411.(2021河北保定唐县一中高二上月考)若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为()A.1B.-2C.1或-2D.-2312.(2020浙江温州高二上期末)已知直线l:(m2+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为12,则m=,若m=-1,则直线l的倾斜角为.13.如图,
4、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示.(1)求直线AB的方程;(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李?能力提升练题组一求直线的一般式方程1.()已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是()A.2x+y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0D.x+2y+1=02.()已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P,Q两点.若M为线段PQ的中点,则这条直线的方程为()A.2x-
5、y-3=0B.2x+y-5=0C.x+2y-4=0D.x-2y+3=03.()已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为.4.(2021山东济宁实验中学高二月考,)直线l过点(4,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则AOB面积的最小值为,当AOB面积取最小值时,直线l的一般式方程是.5.(2021山东枣庄八中高二上月考,)求适合下列条件的直线方程:(1)经过点A(2,-3),并且其倾斜角等于直线x-3y+1=0的倾斜角的2倍的直线方程;(2)经过点A(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程.题组二
6、直线一般式方程的应用6.(2020湖北武汉华中师大一附中高二上期中,)“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.(2020安徽安庆一中高二上月考,)设A(-2,2),B(1,1),若直线l:ax+y+1=0与线段AB有交点,则a的取值范围是()A.-,-322,+)B.-32,2C.(-,-232,+ D.-2,328.(多选)(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中aR,下列说法正确的是()A.当a=-1时,直线l与直线x
7、+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等9.()直线xsin+y+2=0(R)的倾斜角的取值范围是.10.(2020辽宁六校协作体高二上期中,)直线l:mx+y-1-m=0过定点,过此定点,且倾斜角为2的直线方程为.11.()已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=.12.(2020湖北宜昌高二上期末,)(1)已知直线l1:2x+7y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0
8、与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,求a的值.深度解析答案全解全析基础过关练1.D设直线l的方程为x-y+c=0(c-1),由点(0,3)在直线x-y+c=0上得0-3+c=0,解得c=3,因此直线l的方程为x-y+3=0,故选D.2.A设垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为x-2y+c=0,由点(2,3)在直线x-2y+c=0上,得2-6+c=0,解得c=4,因此所求的直线方程为x-2y+4=0,故选A.3.D直线2x-y-2=0与y轴的交点为A(0,-2),直线2x-y-2=0的斜率为2,所求直线的斜率为-12,所求直线的方程为y+2=-12x,即x+2y+4=0,
9、故选D.4.解析(1)由题意知直线l的方程为y-3=-32(x-2),即3x+2y-12=0.(2)设所求直线的方程为3x+2y+m=0(m-12),因为所求直线过点(-3,1),所以-9+2+m=0,解得m=7,故所求直线的一般式方程为3x+2y+7=0.(3)设所求直线的方程为2x-3y+n=0,因为所求直线过点(-3,1),所以-6-3+n=0,解得n=9,故所求直线的一般式方程为2x-3y+9=0.5.C将直线的方程3x+y+1=0化为斜截式,得y=-3x-1,因此直线的斜率k=-3,设直线的倾斜角为,则tan=-3,因为0,),所以=23,即倾斜角为23,故选C.6.D将直线的方程3
10、x+2y+6=0化为截距式,得x-2+y-3=1,所以b=-3,故选D.7.C将直线方程kx-y+1-3k=0化为点斜式方程为y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1).8.C由题意知,直线方程可化为y=-abx-cb,ac0,bc0,-cb0,-ab0,b0).由点(4,1)在直线上知4a+1b=1.a0,b0,1=4a+1b24a1b=4ab,当且仅当4a=1b,即a=8,b=2时取等号.从而ab4,即ab16,SAOB=12ab8,AOB面积的最小值为8,此时直线l的方程为x8+y2=1,即x+4y-8=0.5.解析(1)直线x-3y+1=0的斜率为33,所以其倾斜角为30,所以所求
11、直线的倾斜角为60,故所求直线的斜率为3,又所求直线经过点A(2,-3),所以其方程为y+3=3(x-2),即3x-y-3-23=0.(2)设直线方程为xa+yb=1,则12|ab|=1,-2a+2b=1,解得a=2,b=1或a=-1,b=-2.故所求的直线方程为x+2y-2=0或2x+y+2=0.6.B两直线垂直(m+4)(m-4)+3m(m+4)=0(m+4)(m-1)=0m=1或m=-4.11,-4,“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的充分不必要条件,故选B.7.C由ax+y+1=0得,y=-ax-1,因此直线l过定点P(0,-1),
12、若直线l斜率存在,则斜率k=-a.如图所示,当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时,符合题意.易得kPB=1-(-1)1-0=2,kPA=2-(-1)-2-0=-32.结合图形知,-a2或-a-32,解得a-2或a32.故选C.8.AC对于A项,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,所以正确;对于B项,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)(-1)=1(-1),解得a=0或a=-1,所以不正确;对于C项,当x=0时,y=1,所以直线过定点(0,1),所以正确;对于D项,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,在x轴,y轴上的截距分别是-1,
13、1,所以不正确.故选AC.9.答案0,434,解析直线xsin+y+2=0的斜率k=-sin,-1sin1,-1k1,直线的倾斜角的取值范围是0,434,.10.答案(1,1);x=1解析直线l的方程可化为m(x-1)+(y-1)=0,令x-1=0,y-1=0,得x=1,y=1.故直线l过定点(1,1).当倾斜角为2时,直线垂直于x轴,所以其方程为x=1.11.答案1解析如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).由点C在线段OB上知l2l1或l2与x轴交于D点,且BCD+BAD=180.由l1l2知,13k+3(-1)=0
14、,解得k=1.由BCD+BAD=180得,BAD=OCD.设直线l1的倾斜角为1,l2的倾斜角为2,则1=180-BAD,2=90+OCD,1=180-BAD=180-OCD=180-(2-90)1=270-2tan1=tan(270-2)=tan(90-2)=sin(90-2)cos(90-2)=cos2sin2=1tan2tan1tan2=1,-133k=1k=-1.综上所述,k的值为1.12.解析(1)直线方程可化为l1:y=-27x-47,l2:y=-m3x+23.依题意得,-m3=-27,解得m=67.(2)l1l2,(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1.将a=1代入方程,均满足题意.故当a=1或a=-1时,直线l1l2.方法技巧已知直线的一般式方程,如果含参数的直线不能判断斜率存在,直接利用一般式的结论解决问题可以避免分类讨论.8