1、易错点 13 导数在解决实际问题中的应用 一、单选题 1.某厂生产 x 件产品的总成本为 C 万元，产品单价为 P 万元，且满足=1200+275 3，=500，则总利润最大时，=A.25 B.26 C.24 D.28 2.把一段长为12 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 A.332 2 B.4 2 C.D.23cm2 3.菱形 ABCD 的边长为 2，现将 沿对角线 AC 折起使平面 平面 ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值 A.16327 B.539 C.1 D.34 4.现需建造一个容积为 V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位
2、面积的铝合金的价格是铁的 3 倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径 r 与高 h 的比值为 A.12 B.14 C.2 D.4 5.一个等腰三角形的周长为 10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为 A.500281 B.500227 C.53 D.152 6.已知函数()=12+(0)，若对任意 ，存在1,2使得(1)(2)=()(1 2)，则 a 的最大值为 A.18 B.827 C.2764 D.64125 7.原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变
3、过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位素钍 234 的衰变过程中，其含量(单位：贝克)与时间(单位：天)满足函数关系()=0224，其中0为=0时钍 234 的含量已知=24时，钍 234 含量的瞬时变化率为8ln2，则(120)=A.12 贝克 B.12 2贝克 C.6 贝克 D.6 2贝克 8.设函数()=()2+(ln2 2)2，其中 0，若存在0 ，使得(0)45成立，则实数 a 的值是
4、 A.15 B.25 C.35 D.45 二、填空题 9.将一个边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，当=_时，方盒的容积 V 最大。10.如图，内接于抛物线=1 2的矩形 ABCD，其中 A，B 在抛物线上运动，C，D 在 x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_ 11.如图，C、D 是两所学校所在地，C、D 到一条公路的垂直距离分别为=8,=27.为了缓解上下学的交通压力，决定在 AB 上找一点 P，分别向 C、D 修建两条互相垂直的公 路 PC 和 PD，设 =(0 2)，则 当+最小时，=_km 12.2019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺
5、炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人若在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为(0 0,0)，已知投资额为零时收益为零()求,的值；()如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你
6、帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润 一、单选题 1.某厂生产 x 件产品的总成本为 C 万元，产品单价为 P 万元，且满足=1200+275 3，=500，则总利润最大时，=A.25 B.26 C.24 D.28【答案】A 总利润()=500 1200 275 3=275 3+500 1200(0)由()=225 2+250=0，得=25.令()0，得0 25;令()25 所以()在(0,25)上单调递增，在(25,+)上单调递减，故当=25时，总利润最大 故选 A 2.把一段长为12 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 A.332 2 B.
7、4 2 C.D.23cm2【答案】D【解析】解：设一段长为 x，则另一段为12 (0 12)，则()=12 (3)2 32+12 (123)2 32 =34(229 83+16)，()=34(49 83)令()=0，得=6，当 (0,6)时，()0，当=6时，()最小 ()min=34(29 62 83 6+16)=23(2)故答案选 D 3.菱形 ABCD 的边长为 2，现将 沿对角线 AC 折起使平面 平面 ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值 A.16327 B.539 C.1 D.34 【答案】A【解析】解：设=，(0,)，=2=22，=12 2 2=2，又 平面ABC，=13 =
8、43 2 =83 sin2 cos2 2=83 sin2(1 sin2 2)(0 2 2)，设=sin2，则=83(3)，且0 1，=83(1 32)，当0 0，当33 1时，0，当=33 时，取得最大值16327，四面体 DABC 体积的最大值为16327 故选：A 4.现需建造一个容积为 V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的 3 倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径 r 与高 h 的比值为 A.12 B.14 C.2 D.4【答案】B【解析】设单位面积铁的造价为 m，总的造价为 y，那么=32+(2+2)，即=42+2，由=2 =2，则=42+2，
9、=8 22，令=0，解得=43 当 (0,43)时，0，函数单调递增 所以当=43时，造价最低，此时=2=163，则=1643=14 故选 B 5.一个等腰三角形的周长为 10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为 A.500281 B.500227 C.53 D.152【答案】A【解析】解：四棱锥如图，设底面正方形边长的一半为 x，则有=(5 )2 2 2=2 10+25，=43 2 2 10+25=43 6 105+254 设=6 105+254，则 =65 504+1003=23(32
10、 25+50)=23(+10)(3+5)，由=0，可得=10(舍)或=53 =500281 故选：A 6.已知函数()=12+(0)，若对任意 ，存在1,2使得(1)(2)=()(1 2)，则 a 的最大值为 A.18 B.827 C.2764 D.64125【答案】C【解析】解：()=12+(0)，()=2(2+)2 当1 2时，(1)(2)=()(1 2)()=(1)(2)12 若对，1,2，使得(1)(2)=()(1 2)，即0 ，使得(0)=()()的值域为(0,1,(0)的值域包含(0,1,又当 0时，()=2(2+)2=24+22+2=23+2+2，令()=3+2+2，则()为奇函
11、数，且()=32+2 22=(2+)(32)2，当 (0,3 时，()0，当 3,+)时，()0 若 (0,+)，则当=3 时，()=3+2+2 有最小值，这时()16339,+)，于是这时()9833,0)因此，对任意 ，()9833,9833 由9833 1，得：2764 故选 C 7.原子有稳定和不稳定两种不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益假设在放射性同位
12、素钍 234 的衰变过程中，其含量(单位：贝克)与时间(单位：天)满足函数关系()=0224，其中0为=0时钍 234 的含量已知=24时，钍 234 含量的瞬时变化率为8ln2，则(120)=A.12 贝克 B.12 2贝克 C.6 贝克 D.6 2贝克【答案】A【解析】解：因为()=0 2 24，其中0为=0时钍 234 的含量，钍 234 的含量的变化率为()=124 0 224ln2，所以当=24时，(24)=124 0 22424ln2=048 2=82，所以0=384，可解得(120)=12(贝克)故选 A 8.设函数()=()2+(ln2 2)2，其中 0，若存在0 ，使得(0)
13、45成立，则实数 a 的值是 A.15 B.25 C.35 D.45【答案】A【解析】解：函数()可以看作是动点(,2)与动点(,2)之间距离的平方，动点 M 在函数=2的图象上，N 在直线=2的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由=2得，=2=2，解得=1，曲线上点(1,0)到直线=2的距离最小，最小距离=25=255，则()45，根据题意，要使(0)45，则(0)=45，此时 N 恰好为垂足，由=201=21=12，解得=15，故选 A 二、单空题 9.将一个边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，当=_时，方盒的容积 V 最大。【
14、答案】6 【解析】解：由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为 2，高为 x，则无盖方盒的容积()=(2)2，0 2；即()=(2)2=43 42+2，0 0；当 (6,2)时，()0，()是递增的，(23,2)时，()0，()是递减的，当=23时，()取最大值439 11.如图，C、D 是两所学校所在地，C、D 到一条公路的垂直距离分别为=8,=27.为了缓解上下学的交通压力，决定在 AB 上找一点 P，分别向 C、D 修建两条互相垂直的公 路 PC 和 PD，设 =(0 2)，则 当+最小时，=_km【答案】
15、12【解析】解：在 中，由题意可知=，则=8sin，同理在 中，=，则=27cos，令()=+=8sin+27cos，0 2；则()=8sin2+27cos2=27383sin2cos2，由()=0，得0=23，当 (0,0)时，()单调递减，当 (0,2)时，()单调递增，所以=23时，()取得最小值，此时=tan0=823=12，所以当+最小时，=12 故答案为：12 12.2019 年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，国家卫健委紧急部署，从多省调派医务工作者前去支援，正值农历春节举家团圆之际，他们成为“最美逆行者”.武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、
16、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人若在排查期间，某小区有 5 人被确认为“确诊患者的密切接触者”，现医护人员要对这 5 人随机进行逐一“核糖核酸”检测，只要出现一例阳性，则将该小区确定为“感染高危小区”.假设每人被确诊的概率均为(0 1)且相互独立，若当=0时，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高危小区”的概率取得最大值，则0=_【答案】1 155 【解析】解：由题意，该小区第 4 个人检测为阳性的概率为(1 )3，该小区第 5 个人检测为阳性的概率为(1 )4，至少检测了 4 人该小区被确定为“感染高
17、危小区”的概率()=(1 )3+(1 )4，(0 1)，()=3(1 )2+(1 )3 4(1 )3+(1 )4=(1 )2(52 10+2)，令()=0，0 1，52 10+2=0，解得=1 155 或=1+155(舍去)，故()在(0,1 155)上单调递增，在(1 155,1)上单调递减，故当=1 155 时，()取得最大值 故答案为1 155 三、解答题 13.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费(0 7)百万元，可增加销售额(2+7)百万元(1)若该公司将当年的广告费控制在 4 百万元之内，则应该投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益
18、最大(2)现该公司准备共投入 6 百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费 p 百万元，可增加的销售额为(13 3+2+4)百万元.请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.(注：收益=销售额投入)【答案】解：(1)设投入 x 百万元的广告费后增加的收益为()百万元，则有()=(2+7)=2+6=(3)2+9(0 4)，所以当=3时，()取得最大值 9，即投入 3 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 p 百万元，则用于广告促销的资金为(6 )百万元，由此获得的收益是()百万元，则()=(13 3+2+4)+(6 )2+7(6 )
19、6=13 3+9(0 6)，则()=2+9，令()=0，解得=3(舍去)或=3 所以当=3时，()取得最大值，即将 3 百万元用于技术改造，3 百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大 14.为了办好新淮高中首届“草坪音乐节”，学校计划在直径为 400 米的半圆形草地上建一个形状为等腰梯形的花圃 ABCD，如图所示，其中 O 为圆心，C，D 在半圆上，其余为绿化部分，设=(1)用()表示花圃的面积，并写出定义域；(2)当为何值时，花圃面积最大？最大值为多少？【答案】解：(1)设半径为 r，则=200米，作 ，垂足为 E，因为=，所以=sin =sin,=cos，所以=2=2cos，所以()
20、=12 (2+2cos)sin =2(sin +cos sin)=4 104(sin +cos sin),(0,2)(2)()=4 104(cos +2cos2 1)=4 104(cos +1)(2cos 1)，所以，当0 0，()递增；当3 2 时，()0,0 6)点(6,12)在曲线 AC 上，62=2 (12)，2=3 曲线 AC 的方程为2=3.，(0 6)=6(12)06，直线 DC 方程为：=6 线段 DC 的方程为：=6，.(0 6)线段 AD 与 DC，曲线短 CA 所围成区域的面积：=60 13 2 (6)=(19 3+22+6)|06=30(2)()由()可设(,13 2)
21、，(,6)，(0,13 2).=13 2+6，=，=13 2+6 则公园的面积为()=(23 2+12)12=13 3+12 2+6，(0 6)()=2+6，(0,3)时，()0，(3,6)时，()0,0)，已知投资额为零时收益为零()求,的值；()如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润【答案】解：()根据问题的实际意义，可知(0)=0，(0)=0，则a+2=0，解得=2，=1；()由()可得：()=2，()=6(+1)，设投入经销 B 商品的资金为 x 万元，0,5，则投入经销 A 商品的资金为5 万元，设所获得的收益为()万元，则()=2(5 )+6(+1)=6(+1)2+10，0,5，()=6+1 2，令()=0，得=2，当0 0，函数单调递增；当2 5时，()0，函数单调递减，所以万元)，当投入经销 A 商品 3 万元，B 商品 2 万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元