1、2016年泄露天机卷（数学文科）一、选择题1. 已知为虚数单位，复数，则（ ）.A B C D2. 已知集合，集合，则（ ）.A B C D3. 命题“若，则且”的逆否命题是（ ）.A若，则且 B若，则或C若且，则 D若或，则4. 已知、是两条不同的直线，、是三个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）.A若，则 B若，则 C若，则 D若，则5. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入 x (万元)8.28.610.011.311.9支出 y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 ，其中，据此估计，该社区一户收入为
2、15万元家庭的年支出为（ ）.A11.4 万元 B11.8 万元 C12.0 万元 D12.2 万元6. 已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差等于（ ）.A1 B2 C4 D67. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）.A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向左平移个单位8. 执行如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.9. 已知两点，若点是圆：上的动点，则的面积的最小值为( ).A6 B. C8 D10. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）.A. B. C
3、. D.11. 函数的大致图象是（ ）.12. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）.A B C D13. “”是“方程有两个负实数根”的（ ）.A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件14. 函数（）的部分图象如图所示，则的值为（ ）.A B C D15. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A B C D16. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走
4、了天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为（ ）.A里 B里 C里. D里17. 为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）.A. B. C. D.18. 设正实数，满足，则（ ）.A.有最大值4 B.有最小值 C.有最大值 D.有最
5、小值19. 设点为双曲线（，）上一点，分别是左右焦点，是的内心，若，的面积，满足，则双曲线的离心率为（ ）.A2 B C4 D20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2 个零点；的解集为；，都有其中真命题的序号是（ ）.A B C D二、填空题21. 设，向量，且，则_.22. 已知函数的图象在点处的切线过点，则 实数 .23. 在区间上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为_24. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.25. 如图是一个算法流程图，则输出S的值是 S=0S=Sk 2开始输出S结束是否k5？k=1k = k226. 如图，正方形
6、和正方形的边长分别为，（），原点为的中点，抛物线经过，两点，则 .27. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是 28. 若,且,则的最小值为_29. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为，依此规律得到级分形图（1）4级分形图中共有_条线段；（2）级分形图中所有线段长度之和为_30.设是定义域在上的偶函数，对，都有，且当时，若在区间内关于的方程至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 三、解答题31.
7、已知向量，设（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积32. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率33. 如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形， （1）求证：；（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积34. 2016年1月19日，习近平主席开启对沙特、埃及、伊朗为期5天的国事访问某校
8、高二文科一班主任为了解同学们对此事的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名，该班在本学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：（1）求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为，求的值；（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以政治成绩是否优秀为分类变量补充下面的列联表；政治成绩优秀来源:学科网政治成绩不优秀合计对此事关注者（单位：人）来源:Z&xx&k.Com对此事不关注者（单位：人）
9、来源:学,科,网Z,X,X,K合计是否有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中35. 已知抛物线方程为.（1）直线过抛物线的焦点，且垂直于轴，与抛物线交于两点，求弦的长度；（2）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，为原点.求的面积.36.如图，在四棱锥中，底面是正方形点是棱的中点，平面与棱交于点（1）求证：；（2）若，且平面平面，试证明平面；（3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使得平
10、面?（直接给出结论，不需要说明理由）37. 设数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由38. 已知函数（且）.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，设函数，函数，若恒成立，求实数的取值范围；证明：.39. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由40. 已知函数.（1）当时，求证：若，则；（2）当时，试讨论函数的零点个数.2016年当代
11、中学生报泄露天机卷（数学文科）参考答案与解析1.D由题意，得2.B因为，且，所以.3.D命题“若，则且”的逆否命题为“若或，则”.4.B若，则或与相交，所以选项A错；根据直线与平面垂直的性质定理知选项B正确；若，则平行或相交或异面，所以选项C错；若，则或相交，所以选项D错5.B由已知得（万元），（万元），故，所以回归直线方程为，当年收入为15万元时，该社区一户收入为万元家庭的年支出为（万元）.6.B等差数列的前项和为，所以有，代入中，即，所以，解得.7.D因为，所以为得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位8.B分析程序中各变量和各语句的作用，再根据流程图所示的顺序可知，该程序的作用是计算分
12、段函数 的函数值，又因为输出的函数值在区间内，. 9.B直线的方程为，即，圆：化为，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，圆：上的动点到直线距离的最小值为，又，则的面积的最小值为.10.D 根据正四棱柱的几何特征，得该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积.11.D由函数为奇函数，图象关于原点对称，且当时，；当时，所以函数的图象大致为选项D12.B作出可行域如图所示，由得，所以当直线在轴上的截距最小时，最大，令，得，当直线过时，有最大值13.A 当时，方程的判别式，且有，所以方程有两个负实数根，充分条件成立；若方程有两个负实数根，则，解得，必要条件不成立；所以“”是“方程有两个
13、负实数根”的充分不必要条件.14.D由图可知，所以，即，由，得，又，所以，所以，所以 15.A 由三视图知该几何体是一个组合体，下面是圆柱，上面是三棱锥，如图三棱锥中，是圆柱底面直径，在底面圆周上，平面，是圆心，尺寸见三视图，则16.C记每天走的路程里数为,易知是公比的等比数列,.17.B甲地平均气温为，乙地平均气温为，所以结论正确，结论错误；甲地该月时的气温的标准差为，乙地该月时的气温的标准差为，而，所以结论正确，结论错误.18.C ，由基本不等式得，来源:学。科。网，因此的最小值为4，所以有最大值19.A如图，分别设圆与的三边相切于点,连接，则，且，它们分别是,，的高，由可得整理可得，根据
14、双曲线的定义可知所以.20.D由题意可知，可见命题是错误的；时，此时有个零点，当，此时有个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有个零点，即命题不成立；当时，可求得解集为，当时，可求得解集为，所以命题成立；当时，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则当时的值域为，所以有.21. ，解得，则22. 1 ，又，所以函数图象过点的切线方程为，又切线过点，则，解得23.由已知，若，则，故由几何概型概率的计算公式得的值介于与之间的概率为.24. 根据题意，设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.25. 执行算法流程，有，不满足条件，不满足条件，不满足条件，满足条件
15、，输出的值26. 由题意得，将两点的坐标代入抛物线的方程中，得，因为，所以整理得，解得，所以，所以.27. 由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱柱，其中，所以，设，则，所以，解得，所以，设三棱柱的外接球半径为，则，外接球的表面积.28. 因为，则，则，则.29. （1）45；（2）（1）当时，共有条线段；当时，共有条线段；当时，共有条线段；当时，共有条线段（2）由（1）可得：级分形图中所有线段的长度之和为30. 因为对，都有，所以作出函数的图象，如图所示，由图象可知解得.三、解答题31.解：（1），由 可得，所以函数的单调递增区间为，.（2），.由得，.32.解：（1）设这些产品质量指标值落
16、在区间内的频率为，则这些产品质量指标值落在区间，内的频率分别为和 依题意得， 解得所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为 （2）由（1）得，这些产品质量指标值落在区间，内的频率依次为，用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，则在区间内应抽取件，记为，在区间内应抽取件，记为，在区间内应抽取件，记为 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件M，则所有的基本事件有：，共15种 事件M包含的基本事件有：，共10种 所以这2件产品都在区间内的概率为 33.解：（1）连接，交于点，底面是正方形，且为的中点，又，平面，由于平面，故，又，故.（2）设的中点为，连接，则/，四边形为平
17、行四边形，平面，平面，的中点为，由平面可得，又，平面，又，平面，故三棱锥的体积为34.解：（1）“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为：42，46，50，52，53，56，61，61，63，64，66，66，72，72，76，82，82，86，90，94，中位数为，平均数为.（2）由条件可得，所以.（3）补充的列联表如下：政治成绩优秀政治成绩不优秀合计对此事关注者（单位：人）121830对此事不关注者（单位：人）51520合计173350由列联表可得，所以，没有90%以上的把握认为“此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系 35.解：（1）因为抛物线方程为，所以其焦点坐标为，又过
18、焦点且垂直于轴，所以直线的方程为，联立方程组，解得，或，所以.(2) 由直线过抛物线的焦点，且倾斜角为,得，设，联立方程组,消去整理得，所以，又,的面积为.36.解：（1）底面是正方形，又平面，平面，平面，又，四点共面，且平面平面，.（2）在正方形中，又平面平面，且平面平面， 平面，又平面，由（1）可知，又，由点是棱中点，点是棱中点，在中，又，平面.（3）若存在符合题意的点使得平面，平面，平面平面，而这与题意矛盾，线段上不存在点，使得平面37.解：（1），所以时，两式相减，得，即，即（），又由，得，所以是公差为的等差数列，且，所以.（2），所以，所以，所以，所以，即当时， .38.解：（1），
19、令，当时，解得；当时，解得，所以当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是.（2），由题意得，因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增；，由，得，解得，所以实数的取值范围是由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，时，令，累加可得 ，即 .39.解：（1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以，设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，由椭圆的定义知，所以，所以，从而，所以椭圆的方程为 （2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为，因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点，联立方程组，消去得，所以，所以直线的方程为，因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点 假设在轴上存在点，使得为直角，则
20、，即，即 解得或 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角40.解：（1）当时，则，则 ， 令，得，当时，即，函数在上为增函数，即当时，函数在上为增函数，即当时，.（2）由（1）和式知，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，即，（I）当时，又，由式得，即 ，函数在上为增函数，又，当时，当时，函数在上有且仅有一个零点.（II）当时，）当时，函数在时单调递减，故时，函数在上无零点；）当时，由，得，函数在上单调递增，当时，由函数零点存在性定理知，使，故当时，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，又，对，又当时，由，再由函数零点存在性定理知，使得，综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点