1、高考大题专项(一)导数的综合应用突破1利用导数研究与不等式有关的问题1.已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)12x3+1,求a的取值范围.2.已知函数f(x)=1x+aln x,g(x)=exx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:当a=1时,f(x)+g(x)-1+ex2ln xe.3.已知函数f(x)=ln x+ax(aR)的图象在点1e,f1e处的切线斜率为-e,其中e为自然对数的底数.(1)求实数a的值,并求f(x)的单调区间;(2)证明:xf(x)xex.4.已知函数f(x)=ln ax-bx+1,g(x)=ax
2、-ln x,a1.(1)求函数f(x)的极值;(2)直线y=2x+1为函数f(x)图象的一条切线,若对任意的x1(0,1),x21,2都有g(x1)f(x2)成立,求实数a的取值范围.5.已知两个函数f(x)=exx,g(x)=lnxx+1x-1.(1)当t0时,求f(x)在区间t,t+1上的最大值;(2)求证:对任意x(0,+),不等式f(x)g(x)都成立.6.已知函数f(x)=(x-1)ex-kx2+2.(1)略;(2)若x0,+),都有f(x)1成立,求实数k的取值范围.7.已知函数f(x)=a(ex-x-1)x2,且曲线y=f(x)在(2,f(2)处的切线斜率为1.(1)求实数a的值
3、;(2)证明:当x0时,f(x)1;(3)若数列xn满足exn+1=f(xn),且x1=13,证明:2n|exn-1|0),试研究函数g(x)的极值情况;(2)记函数F(x)=f(x)-xex在区间(1,2)上的零点为x0,记m(x)=minf(x),xex,若m(x)=n(nR)在区间(1,+)上有两个不等实数解x1,x2(x12x0.突破2利用导数研究与函数零点有关的问题1.已知函数f(x)=1+lnxx-a(aR).(1)若f(x)0在(0,+)上恒成立,求a的取值范围,并证明:对任意的nN*,都有1+12+13+1nln(n+1);(2)设g(x)=(x-1)2ex,讨论方程f(x)=
4、g(x)的实数根的个数.2.已知函数f(x)=xex,g(x)=a(ex-1),aR.(1)当a=1时,求证:f(x)g(x);(2)当a1时,求关于x的方程f(x)=g(x)的实数根的个数.3.已知函数f(x)=2ae2x+2(a+1)ex.(1)略;(2)当a(0,+)时,函数f(x)的图象与函数y=4ex+x的图象有唯一的交点,求a的取值集合.4.已知函数f(x)=ax+bxex,a,bR,且a0.(1)若函数f(x)在x=-1处取得极值1e,求函数f(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,求函数f(x)的单调区间;(3)设g(x)=a(x-1)ex-f(x),g(x)为g(x)的导函数
5、,若存在x0(1,+),使g(x0)+g(x0)=0成立,求ba的取值范围.5.已知函数f(x)=ln x,g(x)=2a3x3+2(1-a)x2-8x+8a+7.(1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2)处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在0,3上的值域;(2)当x0时,记函数h(x)=f(x),f(x)g(x),g(x),f(x)g(x),若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值集合.参考答案高考大题专项(一)导数的综合应用突破1利用导数研究与不等式有关的问题1.解(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f(x)=ex+2x-1.故当x(-,0)时,f(x)0.所以f(x)
6、在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)f(x)12x3+1等价于12x3-ax2+x+1e-x1.设函数g(x)=12x3-ax2+x+1e-x(x0),则g(x)=-12x3-ax2+x+1-32x2+2ax-1e-x=-12xx2-(2a+3)x+4a+2e-x=-12x(x-2a-1)(x-2)e-x.若2a+10,即a-12,则当x(0,2)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2)上单调递增,而g(0)=1,故当x(0,2)时,g(x)1,不合题意.若02a+12,即-12a12,则当x(0,2a+1)(2,+)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+)
7、上单调递减,在(2a+1,2)上单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)1当且仅当g(2)=(7-4a)e-21,即a7-e24.所以当7-e24a12时,g(x)1.若2a+12,即a12,则g(x)12x3+x+1e-x.由于07-e24,12,故由可得12x3+x+1e-x1.故当a12时,g(x)1.综上,a的取值范围是7-e24,+.2.(1)解函数的定义域为(0,+),f(x)=-1x2+ax=ax-1x2,当a0时,f(x)0时,由f(x)0,得x1a,由f(x)0,得0x0时,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增.(2)证明因为x0,所以不等式等价于ex-ex+1
8、elnxx,设F(x)=ex-ex+1,F(x)=ex-e,所以当x(1,+)时,F(x)0,F(x)单调递增;当x(0,1)时,F(x)0,G(x)单调递增,当x(e,+)时,G(x)G(x),即ex-ex+1elnxx,故原不等式成立.3.(1)解因为函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-ax2,所以f1e=e-ae2=-e,所以a=2e,所以f(x)=1x-2ex2.令f(x)=0,得x=2e,当x0,2e时,f(x)0,所以f(x)在0,2e上单调递减,在2e,+上单调递增.(2)证明设h(x)=xf(x)=xlnx+2e,由h(x)=lnx+1=0,得x=1e,所以当x0
9、,1e时,h(x)0,所以h(x)在0,1e上单调递减,在1e,+上单调递增,所以h(x)min=h1e=1e.设t(x)=xex(x0),则t(x)=1-xex,所以当x(0,1)时,t(x)0,t(x)单调递增,当x(1,+)时,t(x)t(x),即xf(x)xex.4.解(1)a1,函数f(x)的定义域为(0,+).f(x)=lnax-bx+1=lna+lnx-bx+1,f(x)=1x-b=1-bxx.当b0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上为增函数,无极值;当b0时,由f(x)=0,得x=1b.当x0,1b时,f(x)0,f(x)单调递增;当x1b,+时,f(x)f(x2)成立,只
10、需g(x1)minf(x2)max.g(x)=a-1x=ax-1x,由g(x)=0,得x=1a.a1,01a1.当x0,1a时,g(x)0,g(x)单调递增.g(x)g1a=1+lna,即g(x1)min=1+lna.f(x2)=1x2-b在x21,2上单调递减,f(x2)max=f(1)=1-b=3-ae.1+lna3-ae.即lna+ae-20.设h(a)=lna+ae-2,易知h(a)在(1,+)上单调递增.又h(e)=0,实数a的取值范围为(e,+).5.(1)解由f(x)=exx得,f(x)=xex-exx2=ex(x-1)x2,当x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在区间(-
11、,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增.当t1时,f(x)在区间t,t+1上单调递增,f(x)的最大值为f(t+1)=et+1t+1.当0t1,f(x)在区间(t,1)上单调递减,在区间(1,t+1)上单调递增,f(x)的最大值为f(x)max=maxf(t),f(t+1).下面比较f(t)与f(t+1)的大小.f(t)-f(t+1)=ett-et+1t+1=(1-e)t+1ett(t+1).t0,1-e0,当0t1e-1时,f(t)-f(t+1)0,故f(x)在区间t,t+1上的最大值为f(t)=ett,当1e-1t1时,f(t)-f(t+1)0,f(x)在区间t,t+1上的最大值为f
12、(t+1)=et+1t+1.综上可知,当01e-1时,f(x)在区间t,t+1上的最大值为f(t+1)=et+1t+1.(2)证明不等式f(x)g(x)即为exxlnxx+1x-1.x0,不等式等价于exlnx-x+1,令h(x)=ex-(x+1)(x0),则h(x)=ex-10,h(x)在(0,+)上为增函数,h(x)h(0)=0,即exx+1,所以,要证exlnx-x+1成立,只需证x+1lnx-x+1成立即可.即证2xlnx在(0,+)上成立.设(x)=2x-lnx,则(x)=2-1x=2x-1x,当0x12时,(x)12时,(x)0,(x)单调递增,(x)min=12=1-ln12=1
13、+ln20,(x)0在(0,+)上成立,对任意x(0,+),不等式f(x)g(x)都成立.6.解(1)略(2)f(x)=xex-2kx=x(ex-2k),当k0时,ex-2k0,所以,当x0时,f(x)0时,f(x)0,则f(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,所以f(x)在区间0,+)上的最小值为f(0),且f(0)=1,符合题意;当k0时,令f(x)=0,得x=0或x=ln2k,所以当00,f(x)单调递增,所以f(x)在区间0,+)上的最小值为f(0),且f(0)=1,符合题意;当k12时,ln2k0,当x(0,ln2k)时,f(x)0,f(x)在区间(0,ln2
14、k)上单调递减,所以f(ln2k)1,只需证h(x)=ex-12x2-x-10.h(x)=ex-x-1,令c(x)=ex-x-1,则c(x)=ex-1.因为当x0时,c(x)0,所以h(x)=ex-x-1在(0,+)上单调递增,所以h(x)=ex-x-1h(0)=0.所以h(x)=ex-12x2-x-1在(0,+)上单调递增,所以h(x)=ex-12x2-x-1h(0)=0成立.所以当x0时,f(x)1.(3)证明(方法1)由(2)知当x0时,f(x)1.因为exn+1=f(xn),所以xn+1=lnf(xn).设g(xn)=lnf(xn),则xn+1=g(xn),所以xn=g(xn-1)=g
15、(g(xn-2)=g(g(x1)0.要证2n|exn-1|1,只需证|exn-1|12n.因为x1=13,所以|ex1-1|=e13-1.因为e-323=e-2780,所以e1332,所以|ex1-1|=e13-112.故只需证|exn+1-1|12|exn-1|.因为xn(0,+),故只需证exn+1-112exn-12,即证f(xn)-10,(x)=12x2+x-2ex+x+2,令(x)=12x2+x-2ex+x+2,则(x)=12x2+2x-1ex+1,令(x)=12x2+2x-1ex+1,则(x)=12x2+3x+1ex0,所以(x)在区间(0,+)上单调递增,故(x)=12x2+2x
16、-1ex+1(0)=0.所以(x)在区间(0,+)上单调递增,故(x)=12x2+x-2ex+x+2(0)=0.所以(x)在区间(0,+)上单调递增,所以(x)=12x2-2ex+12x2+2x+2(0)=0,所以原不等式成立.(方法2)由(2)知当x0时,f(x)1.因为exn+1=f(xn),所以xn+1=lnf(xn).设g(xn)=lnf(xn),则xn+1=g(xn),所以xn=g(xn-1)=g(g(xn-2)=g(g(x1)0.要证2n|exn-1|1,只需证|exn-1|12n.因为x1=13,所以|ex1-1|=e13-1.因为e-323=e-2780,所以e1332,所以|
17、ex1-1|=e13-112.故只需证|exn+1-1|12|exn-1|.因为xn(0,+),故只需证exn+1-112exn-12,即证f(xn)-10.因为(x)=12(x2-4)ex+12(x2+4x+4)=12(x+2)(x-2)ex+(x+2),设u(x)=(x-2)ex+(x+2),故只需证u(x)0.u(x)=(x-1)ex+1,令v(x)=(x-1)ex+1,则v(x)=xex0,所以v(x)在区间(0,+)上单调递增,故v(x)=(x-1)ex+1v(0)=0,所以u(x)在区间(0,+)上单调递增,故u(x)=(x-2)ex+(x+2)u(0)=0,所以原不等式成立.8.
18、(1)解由题意,得f(x)=lnx+1,故g(x)=ax2-(a+2)x+lnx+1,故g(x)=2ax-(a+2)+1x=(2x-1)(ax-1)x,x0,a0.令g(x)=0,得x1=12,x2=1a.当0a12,由g(x)0,得0x1a;由g(x)0,得12x2时,1a0,得0x12;由g(x)0,得1ax12.所以g(x)在x=1a处取极大值g1a=-1a-lna,在x=12处取极小值g12=-a4-ln2.综上,当0a2时,g(x)在x=1a处取极大值-1a-lna,在x=12处取极小值-a4-ln2.(2)证明F(x)=xlnx-xex,定义域为x(0,+),F(x)=1+lnx+
19、x-1ex.当x(1,2)时,F(x)0,即F(x)在区间(1,2)上单调递增.又因为F(1)=-1e0,且F(x)在区间(1,2)上的图像连续不断,故根据函数零点存在定理,F(x)在区间(1,2)上有且仅有一个零点.所以存在x0(1,2),使得F(x0)=f(x0)-x0ex0=0.且当1xx0时,f(x)x0时,f(x)xex.所以m(x)=minf(x),xex=xlnx,1xx0.当1x0,得m(x)单调递增;当xx0时,m(x)=xex,由m(x)=1-xex0,得m(x)单调递减.若m(x)=n在区间(1,+)上有两个不等实数解x1,x2(x12x0,即证x22x0-x1.又因为2
20、x0-x1x0,而m(x)在区间(x0,+)上单调递减,所以可证m(x2)m(2x0-x1).由m(x1)=m(x2),即证m(x1)m(2x0-x1),即x1lnx12x0-x1e2x0-x1.记h(x)=xlnx-2x0-xe2x0-x,1x0;当t(1,+)时,(t)0,故0(t)1,所以-1e-2x0-xe2x0-x1-1e0,即h(x)单调递增,故当1xx0时,h(x)h(x0)=0,即x1lnx12x0,得证.突破2利用导数研究与函数零点有关的问题1.(1)证明由f(x)0可得,a1+lnxx(x0),令h(x)=1+lnxx,则h(x)=1xx-(1+lnx)x2=-lnxx2.
21、当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增;当x(1,+)时,h(x)0,h(x)单调递减,故h(x)在x=1处取得最大值,要使a1+lnxx,只需ah(1)=1,故a的取值范围为1,+).显然,当a=1时,有1+lnxx1,即不等式lnx1(nN*),则有lnn+1nn+1n-1=1n,所以ln21+ln32+lnn+1nln(n+1).(2)解由f(x)=g(x),可得1+lnxx-a=(x-1)2ex,即a=1+lnxx-(x-1)2ex,令t(x)=1+lnxx-(x-1)2ex,则t(x)=-lnxx2-(x2-1)ex,当x(0,1)时,t(x)0,t(x)单调递增;当x(1,
22、+)时,t(x)0,t(x)单调递减,故t(x)在x=1处取得最大值t(1)=1,又当x0时,t(x)-,当x+时,t(x)-,所以,当a=1时,方程f(x)=g(x)有一个实数根;当a1时,方程f(x)=g(x)没有实数根.2.(1)证明设函数F(x)=f(x)-g(x)=xex-aex+a.当a=1时,F(x)=xex-ex+1,所以F(x)=xex.所以当x(-,0)时,F(x)0.所以F(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.所以当x=0时,F(x)取得最小值F(0)=0.所以F(x)0,即f(x)g(x).(2)解设函数F(x)=f(x)-g(x)=xex-aex+a.
23、当a1时,F(x)=(x-a+1)ex,令F(x)0,即(x-a+1)ex0,解得xa-1;令F(x)0,即(x-a+1)ex0,解得x1,所以h(a)0.所以h(a)在(1,+)上单调递减.所以h(a)h(1)=0,所以F(a-1)0,所以F(x)在区间(a-1,a)上存在一个零点.所以在a-1,+)上存在唯一的零点.又因为F(x)在区间(-,a-1)上单调递减,且F(0)=0,所以F(x)在区间(-,a-1)上存在唯一的零点0.所以函数F(x)有且仅有两个零点,即方程f(x)=g(x)有两个实数根.3.解(1)略.(2)设t=ex,则f(t)=2at2+2(a+1)t的图像与y=4t+ln
24、t的图像只有一个交点,其中t0,则2at2+2(a+1)t=4t+lnt只有一个实数解,即2a=2t+lntt2+t只有一个实数解.设g(t)=2t+lntt2+t,则g(t)=-2t2+t-2tlnt+1-lnt(t2+t)2,g(1)=0.令h(t)=-2t2+t-2tlnt+1-lnt,则h(t)=-4t-1t-2lnt-1.设y=1t+2lnt,令y=-1t2+2t=2t-1t2=0,解得t=12,则y,y随t的变化如表所示t0,121212,+y-0+y2-2ln2则当t=12时,y=1t+2lnt取最小值为2-2ln2=2(1-ln2)0.所以-1t-2lnt0,即h(t)=-4t
25、-1t-2lnt-10,g(t)单调递增;当t(1,+)时,g(t)0得x12,令f(x)0得-1x0或0x0),所以g(x)=bx2+ax-bx-aex.由g(x)+g(x)=0,得ax-bx-2aex+bx2+ax-bx-aex=0.整理,得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x0(1,+),使g(x0)+g(x0)=0成立,等价于存在x0(1,+),使2ax03-3ax02-2bx0+b=0成立.设u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x1),则u(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b-2b.当b0时,u(x)0,此时u(x)在(1,+)上单调递增,因此u(x)u
26、(1)=-a-b.因为存在x0(1,+),使2ax03-3ax02-2bx0+b=0成立,所以只要-a-b0即可,此时-10时,令u(x)=b,解得x1=3a+9a2+16ab4a3a+9a24a=321,x2=3a-9a2+16ab4a(舍去),x3=0(舍去),得u(x1)=b0.又因为u(1)=-a-b1,使2ax03-3ax02-2bx0+b=0成立,此时ba0.综上,ba的取值范围为(-1,+).5.解(1)因为g(x)=2a3x3+2(1-a)x2-8x+8a+7,所以g(x)=2ax2+4(1-a)x-8,所以g(2)=0.所以a=0,即g(x)=2x2-8x+7.g(0)=7,
27、g(3)=1,g(2)=-1.所以g(x)在0,3上的值域为-1,7.(2)当a=0时,g(x)=2x2-8x+7,由g(x)=0,得x=222(1,+),此时函数y=h(x)有三个零点,符合题意.当a0时,g(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)x+2a.由g(x)=0,得x=2.当x(0,2)时,g(x)0.若函数y=h(x)有三个零点,则需满足g(1)0且g(2)0,解得0a316.当a0时,g(x)=2ax2+4(1-a)x-8=2a(x-2)x+2a.由g(x)=0,得x1=2,x2=-2a.()当-2a2,即a-1时,因为g(x)极大值=g(2)=163a-12,即-1a0时,若g(1)0,此时函数y=h(x)有三个零点,符合题意;若g(1)0,得-320a0.所以(a)-3200,此时函数y=h(x)有四个零点,不符合题意.综上所述,满足条件的实数a-2200,316.