1、1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数 f(x)在a，b上是连续函数，由直线 y0，xa，xb 与曲线 yf(x)围成的曲边梯形的面积为 S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)0Sabf(x)dxf(x)0Sabf(x)dx(2)一般地，如图 1-7-1，如果在公共的积分区间a，b上有 f(x)g(x)，那么直线 xa，xb 与曲线 yf(x)，yg(x
2、)围成的平面图形的面积为 Sabf(x)g(x)dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分图 1-7-12变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即 sabv(t)dt.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？提示不同路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念3变力做功如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x)相同的方向从 xa 移动到 xb(a0)的图象所围成的阴影部分(如图 1-7-3所示)的面积为43，则 k_.图 1-7-3(2)求由曲线 y x，y2x
3、，y13x 所围成的图形的面积解(1)由yx2，ykx，解得 x0，y0，或xk，yk2，故阴影部分的面积为0k(kxx2)dx 12kx213x3|k0 12k313k316k343，解得k2.(2)画出图形，如图所示解方程组y x，xy2，y x，y13x及xy2，y13x，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以 S 01x13xdx13(2x)13x dx 01x13x dx132x13x dx23x3216x2|10 2x12x216x2|3123162x13x2|31566139213136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图 1-7-4，已知点
4、A0，14，点 P(x0，y0)(x00)在曲线 yx2 上，若阴影部分的面积与OAP 的面积相等”，则 x0_.图 1-7-4解 由题意知即18x013x30，解得 x0 64 或 x0 64 或 x00.x00，x0 64.2(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线 yx2 在点 P(2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为 S”，求 S.解 y|x24，故曲线在 P 点处的切线方程为 y44(x2)，即 y4x4，故所求面积 S01x2dx12(x24x4)dx13x3|10 13x32x24x|21 23.3(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线 y2x，y2x 所围成的图形
5、的面积”解 由y2xxy2，得x1y1 或x4y2.阴影部分的面积S(2yy2)dy2yy22y33|1221213 4283 92.规律方法 求曲边梯形面积的一般步骤如下：求变速直线运动的路程 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)8t2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)求：(1)P 从原点出发，当 t6 时，求点 P 移动的路程和离开原点的位移；(2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值.【导学号：31062101】解(1)由 v(t)8t2t20 得 0t4，即当 0t4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t4 时，P 点向 x 轴负方向
6、运动故 t6 时，点 P 移动的路程s104(8t2t2)dt46(8t2t2)dt4t223t3|40 4t223t3|641283.当 t6 时，点 P 的位移为06(8t2t2)dt4t223t3|60 0.(2)依题意0t(8t2t2)dt0，即 4t223t30，解得 t0 或 t6，t0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t6 是从原点出发，又返回原点所用的时间规律方法 做变速直线运动的物体，从时刻 ta 到时刻 tbab所经过的路程 s 和位移 s情况如下：1若 vt0，则 sabvtdt；sabvtdt.即 ss2若 vt0，则 sabvtdt；sabvtdt.即 ss.3
7、若在区间a，c上，vt0，在区间c，b上 vt0，则 sacvtdtcbvtdt，sabvtdt所以求路程时要事先求得速度的正负区间.跟踪训练1有一辆汽车以每小时 36 km 的速度沿平直的公路行驶，在 B 处需要减速停车设汽车以 2 m/s2 的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解 设从开始刹车到停车，汽车经过了 t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令 v(t)0，解得 t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为 s05(102t)dt(10tt2)|50 25(m)故从开始刹车到停车，汽车行驶了 25 m.求变力做功 设有一个长为 25 cm
8、 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功解 设 x 表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则 f(x)kx(其中常数 k 为比例系数)因为当 f(x)100 时，x5，所以 k20.所以 f(x)20 x.弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时，弹簧伸长的长度 x 从 0 cm 变化到 15 cm，故所做的功W01520 xdx10 x2|150 2 250(Ncm)22.5(J)规律方法 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式 F(x)，确定物体在力的方向上的位移(2)利用变力做功的公式 WabF(
9、x)dx 计算(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟踪训练2一物体在力 F(x)2，0 x2，2x2，x2，(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为()A10 J B12 JC14 JD16 JB W022dx24(2x2)dx2x|20(x22x)|42 4(16844)12(J)当 堂 达 标固 双 基1在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有()Sbaf(x)g(x)dx S08(2 2x2x8)dx S14fxdx47fxdx S0agxfxdxabfxgxdx 图 1-7-5 A B
10、CDD 错误，Sabf(x)g(x)dx；错误，S042 2xdx48(2 2x2x8)dx；正确2曲线 ycos x0 x32 与坐标轴所围图形的面积是()【导学号：31062102】A2B3C52D4B S sin 2sin 0sin 32 sin 210113.3一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)270.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A405B540C810D945A 停车时 v(t)0，由 270.9t0，得 t30，s030v(t)dt030(270.9t)dt(27t0.45t2)|300 405.4设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a_.解析 由已知得 Sa2，所以 a23，所以 a49.答案 495一物体在变力 F(x)36x2(N)的作用下沿坐标平面内 x 轴的正方向由 x8 m处运动到 x18 m 处，求力 F(x)在这一过程中所做的功解 由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在8,18上的定积分，从而W818F(x)dx36x1|188(36181)(3681)(2)92 52(J)从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.