1、学科：数学专题：点线面综合问题主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师题1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，点M是BC的中点，点N是AA1的中点(1)求证：MN平面A1CD；(2)过N，C，D三点的平面把长方体ABCDA1B1C1D1截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值题2已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影可能是：两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点则在上面的结论中，正确结论的编号是_(写出所有正确结论的编号)题3设a，b为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是()A若a，b与所成的角相等，则a
2、bB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若ab，a，b，则b题4正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值；(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比题5若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 (只须写出一个可能的值)题6一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图(1)和(2)所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形(1)请在图(2)指定的位置画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC、BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE
3、平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积 （1） （2）题7如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ADDC，CD2，DD1AB1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点求证：AC平面BPQ题8如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BEBC，AEBE，M为CE上一点，且BM平面ACE(1)求证：AEBC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN平面ADE题9如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是
4、()AEHFG B四边形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱台课后练习详解题1答案：见详解详解: (1)设点P为AD的中点，连结MP、NP，点M是BC的中点，MPCDCD平面A1CD，MP平面A1CD，MP平面A1CD点N是AA1的中点，NPA1DA1D平面A1CD，NP平面A1CD，NP平面A1CDMPNPP，MP平面MNP，NP平面MNP，平面MNP平面A1CDMN平面MNP，MN平面A1CD(2)取BB1的中点Q，连结NQ、CQ、ND，点N是AA1的中点，NQABABCD，NQCD，过N、C、D三点的平面NQCD把长方体ABCDA1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直棱柱QBCN
5、AD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1A1NDD1，SQBCQBBC11，直三棱柱QBCNAD的体积V1SQBCAB长方体ABCDA1B1C1D1的体积V1122，直四棱柱B1QCC1A1NDD1的体积V2VV1，所截成的两部分几何体的体积的比值为题2答案：详解:、对应的情况如下：用反证法证明不可能题3答案：D详解:对于选项A，要注意直线a，b的方向相同时才平行；对于选项B，可用长方体验证如图，设A1B1为a，平面AC为，BC为b，平面A1C1为，显然有a，b，但得不到ab；对于选项C，可设A1B1为a，平面AB1为，CD为b，平面AC为，满足选项C的条件却得不到，故C不正确；对于选项D，
6、可验证是正确的题4答案：（1）a；（2）a2；（3）详解: (1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图如图，当周长最小时，EF在直线BB上，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同理BFBDaFDBADB，,DFa,AFa又AEFACD，BBa+a+aa,截面三角形的周长的最小值为a(2)如图，BEF等腰，取EF中点G，连BG，则BGEFBGa SBEFEFBGaaa2(3)VA-BCDVB-ACD，而三棱锥BAEF，三棱锥BACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即题5答案：或详解：该题的显著特点是结论发散而不惟一本题表面上是考查锥体求体积公式
7、这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的排除1，1，2，可得1，1，1，1，2，2，2，2，2，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看下图所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD面BCM，且VABCM=VDBCM，所以VABCD=SBCMADCM=设N是BC的中点，则MNBC，MN=，从而SBCM=2=，故VABCD=1=对于对棱相等的四面体，可参
8、见图2其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行亦可套公式V=，不妨令a=b=2，c=1，则V=题6答案：(3)5a2详解: (1)(2)如图，连结AC、BD，交于O点E为AA1的中点，O为AC的中点在AA1C中，OE为AA1C的中位线，OEA1COE平面A1C1C，A1C平面A1C1C，OE平面A1C1C(3)多面体表面共包括10个面，SABCDa2，S，所以该多面体的表面积Sa2445a2题7答案：见详解详解：连接CD1、AD1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，PQCD1，又CD1平面BPQ，PQ平面BPQ，CD1平面BPQ又D1QAB1，D1
9、QDCAB，四边形ABQD1是平行四边形，AD1BQ，又AD1平面BPQ，BQ平面BPQ，AD1平面BPQ又AD1CD1D1，平面ACD1平面BPQAC平面ACD1，AC平面BPQ题8证明：(1)因为BM平面ACE，AE平面ACE，所以BMAE因为AEBE，且BEBMB，BE、BM平面EBC，所以AE平面EBC因为BC平面EBC，所以AEBC(2)法1：取DE中点H，连接MH、AH因为BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC因为BEBC，所以M为CE的中点所以MH为EDC的中位线，所以MH平行且等于 DC因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC平行且等于AB故MH平行且等于 AB因为N为A
10、B的中点，所以MH平行且等于AN所以四边形ANMH为平行四边形，所以MNAH因为MN平面ADE，AH平面ADE，所以MN平面ADE法2：取EB的中点F，连接MF、NF因为BM平面ACE，EC平面ACE，所以BMEC因为BEBC，所以M为CE的中点，所以MFBC因为N为AB的中点，所以NFAE，因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC所以MFAD因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面ADE，所以NF平面ADE，MF平面ADE因为MFNFF，MF、NF平面MNF，所以平面MNF平面ADE因为MN平面MNF，所以MN平面ADE题9答案：D详解:EHA1D1，EHBC，EH平面BCC1B1又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，EHFG故A成立B中，易得四边形EFGH为平行四边形，BC平面ABB1A1，BCEF，即FGEF，四边形EFGH为矩形故B正确C中可将看做以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱故C正确