1、第2讲数列求和及综合应用高考定位1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真 题 感 悟 1.(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和.解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，得(2n1)an2，所以an，又n1时，a12适合上式，从而an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn1.2.(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等
2、比数列，且a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n1bnbn1，求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公比为q，由题意知又an0，解得所以an2n.(2)由题意知：S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，则cn，因此Tnc1c2cn，又Tn，两式相减得Tn，所以Tn5.考 点 整 合1.(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)0时，应特别注意n1时的情况，防止产生错误.2.数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等
3、比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.温馨提醒裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数
4、列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.热点一an与Sn的关系问题【例1】 设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，bn1log2|an|，数列bn的前n项和为Tn，cn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列cn的前n项和An，并求出An的最值.解(1)因为an5Sn1，nN*，所以an15Sn11，两式相减，得an1an，又当n1时，a15a11，知a1，所以数列an是公比、首项均为的等比数列.所以数列an的通项公式an.(2)bn1log2|an|2n1，数列bn的前n项和Tnn2
5、，cn，所以An1.因此An是单调递增数列，当n1时，An有最小值A11；An没有最大值.探究提高1.给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.2.形如an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列.【训练1】 (2018安徽江南名校联考)已知数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项和，且满足2(Sn1)(n3)an.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn，记数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn3.(1)解2(Sn1)(n3)an，当n2时
6、，2(Sn11)(n2)an1，得，(n1)an(n2)an1，所以(n2)，又，故是首项为的常数列.所以an(n2).(2)证明由(1)知，bn9.Tnb1b2b3bn9933.热点二数列的求和考法1分组转化求和【例21】 (2018合肥质检)已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an(1)nan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)an为等差数列，解得因此an的通项公式an2n1.(2)bn2an(1)nan22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，Tn2(41424n)3579(1)n(2n1)Gn.当n为偶数时，G
7、n2n，Tnn；当n为奇数时，Gn2(2n1)n2，Tnn2，Tn探究提高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.考法2裂项相消法求和【例22】 (2018郑州调研)设Sn为数列an的前n项和，Sn2n25n.(1)求证：数列3an为等比数列；(2)设bn2Sn3n，求数列的前n项和Tn.(1)证明Sn2n25n，当n2时，anSnSn14n3.又当n1时，a1S1
8、7也满足an4n3.故an4n3(nN*).由an1an4，得3an1an3481.数列3an是公比为81的等比数列.(2)解bn4n27n，Tn.探究提高1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【训练2】 (2018成都二诊)设正项等比数列an，a481，且a2，a3的等差中项为(a1a2).(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3a2n1，数列bn的前n项和为Sn，数列cn满足cn，Tn为数列cn的前n项和，若Tn0)，
9、由题意，得解得所以ana1qn13n.(2)由(1)得bnlog332n12n1，Snn2cn，Tn.若Tn(nN*)恒成立，则，所以.考法3错位相减求和【例23】 (2018潍坊一模)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，已知S410，且a1，a3，a9成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)设an的公差为d，由题设得解之得a11，且d1.因此ann.(2)令cn，则Tnc1c2cn，Tn，得：Tn，Tn.探究提高1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然
10、后作差求解.2.在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式.所以an6n5.设数列bn的公差为d，由即可解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.，又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2.两式作差，得Tn322223242n1(n1
11、)2n233n2n2.所以Tn3n2n2.热点三与数列相关的综合问题【例3】 设f(x)x22x，f(x)是yf(x)的导函数，若数列an满足an1f(an)，且首项a11.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn，等比数列bn中，b1a1，b2a2，数列bn的前n项和为Tn，请写出适合条件TnSn的所有n的值.解(1)由f(x)x22x，得f(x)x2.an1f(an)，且a11.an1an2则an1an2，因此数列an是公差为2，首项为1的等差数列.an12(n1)2n1.(2)数列an的前n项和Snn2，等比数列bn中，b1a11，b2a23，q3.bn3n1.数列bn
12、的前n项和Tn.TnSn可化为n2.又nN*，n1，或n2故适合条件TnSn的所有n的值为1和2.探究提高1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】 (2018长沙雅礼中学质检)设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得
13、|Tn1|成立的n的最小值.解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)可得，所以Tn1.由|Tn1|，得1 000，又nN*，因为295121 0001 024210，所以n10，于是，使|Tn1|T101 013恒成立，则整数m的最小值为()A.1 026 B.1 025C.1 024 D.1 023解析因为1，所以Tnn1，则T101
14、013111 0131 024，又mT101 013，所以整数m的最小值为1 024.答案C4.已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A.9 B.15 C.18 D.30解析an1an2，a15，数列an是公差为2，首项为5的等差数列.an52(n1)2n7.数列an的前n项和Snn26n.令an2n70，解得n.n3时，|an|an；n4时，|an|an.则|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6S62S362662(3263)18.答案C5.对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，数列an的“差数列”的通项公式为an1an2n，则数列
15、an的前n项和Sn()A.2 B.2n C.2n12 D.2n12解析因为an1an2n，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n，所以Sn2n12.答案C二、填空题6.(2018昆明诊断)数列an满足an，则等于_.解析an，则222.答案7.记Sn为正项数列an的前n项和，且an12，则S2 018_.解析由题意得4Sn(an1)2，当n1时，4a1(a11)2，a11，当n2时，4Sn1(an11)2，得aa2(anan1)0，所以(anan12)(anan1)0，又an0，所以anan12，则an是以1为首项，2为公差的等差数列.所以an
16、2n1，S2 0182 0182.答案2 01828.(2018贵阳质检)已知x表示不超过x的最大整数，例如：2.32，1.52.在数列an中，anlg n，nN，记Sn为数列an的前n项和，则S2 018_.解析当1n9时，anlg n0.当10n99时，anlg n1.当100n999时，anlg n2.当1 000n2 018时，anlg n3.故S2 0189090190021 01934 947.答案4 947三、解答题9.(2018济南模拟)记Sn为数列an的前n项和，已知Sn2n2n，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由Sn2n2
17、n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n1.又a13满足上式.所以an4n1(nN*).(2)bn.所以Tn.10.(2018南昌调研)已知数列n是等比数列，且a19，a236.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列ann2的前n项和Sn.解(1)设等比数列n的公比为q，则q2.从而n(31)2n1，故an(n2n)2.(2)由(1)知ann2n2n14n.记Tn22223n2n1，则2Tn23224(n1)2n1n2n2，两式作差，得Tn22232n1n2n22n24n2n2(1n)2n24，Tn(n1)2n24，故SnTn(n1)2n2.11.
18、若数列an是公差为2的等差数列，数列bn满足b11，b22，且anbnbnnbn1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn，数列cn的前n项和为Tn，若不等式(1)nTn对一切nN*恒成立，求实数的取值范围.解(1)数列bn满足b11，b22，且anbnbnnbn1.n1时，a112，解得a11.又数列an是公差为2的等差数列，an12(n1)2n1.2nbnnbn1，化为2bnbn1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列.bn2n1.(2)由数列cn满足cn，数列cn的前n项和为Tn1，Tn，两式作差，得Tn12，Tn4.不等式(1)nTn，化为(1)n4，n2k(kN*)时，4，取n2，3.n2k1(kN*)时，2.综上可得：实数的取值范围是(2，3).
