1、14.4 用样本估计总体14.4.1 用样本估计总体的集中趋势参数基础认知自主学习【概念认知】平均数、中位数、众数的定义(1)平均数、均值(算术)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数总体均值：一般地，我们把总体中所有数据的_，称为总体的均 值一个平均数的计算公式 一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为 x1p1x2p2xnpn.算术平均数(2)众数一般地，我们将一组数据中出现次数_的那个数据叫作该组数据的众数(3)中位数一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在_的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，
2、排在正中间的_即为这组数据的中位数最多正中间两个数据的平均数1奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为()A减少计算量B避免故障C剔除异常值D活跃赛场气氛【解析】选 C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量公平2已知一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D
3、众数中位数平均数【解析】选 D.众数、中位数、平均数都是 50.3(教材练习改编)某厂抽查了某节能灯泡的使用寿命数据如下：寿命/天450550600650700只数2010301525则这些节能灯泡使用寿命的平均数是_【解析】这些节能灯泡使用寿命的平均数是4502055010600306501570025100597.5(天).答案：597.5 天4一组样本数据按从小到大的顺序排列为 13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为 22，则 x 等于_【解析】根据题意知，中位数 22x232，则 x21.答案：215某学校抽查了某班级某月 5 天的用电量，数据如表(单位：度)：度数9
4、1011天数311(1)求这个班级这 5 天用电量的平均数；(2)求这个班级这 5 天用电量的众数、中位数；(3)学校共有 36 个班级，若该月按 22 天计，试估计该校该月的总用电量【解析】(1)因为(93101111)59.6(度)，所以这个班级这 5 天用电量的平均数为 9.6 度(2)这个班级这 5 天用电量的众数是 9 度，中位数是 9 度(3)因为 9.636227 603.2(度)，所以估计该校该月的总用电量为 7 603.2 度学情诊断课时测评一、单选题1某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中一个数据 105 输入为 15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是(
5、)A3.5 B3 C0.5 D3【解析】选 D.因为错将其中一个数据 105 输入为 15，所以此时求出的数与实际的数的差是 1510590，因此平均数之间的差是90303.2已知 10 名工人生产同一零件，生产的件数分别是 16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有()Aabc BacbCcab Dcba【解析】选 D.由题意得 a 110(16181511161818171513)1571015.7，中位数为 16，众数为 18，则 b16，c18，所以 cba.3设矩形的长为 a，宽为 b，其比满足 ba5120.618，
6、这种矩形给人以美感，称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数与标准值 0.618 比较，正确的结论是()A甲批次的总体平均数与标准值更接近B乙批次的总体平均数与标准值更接近C两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析】选 A.计算可得甲批次样本的平均数为 0.617，乙批次样本的平均数为 0.613，由此估计两个
7、批次的总体平均数分别为 0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近4某排球队 12 名队员的年龄如表所示：年龄/岁1819202122人数14322则该队队员年龄的众数与中位数分别是()A19 岁，19 岁 B19 岁，20 岁C20 岁，20 岁 D20 岁，22 岁【解析】选 B.由众数的定义可知，数据 19 出现的次数最多，达 4 次，12 个数据中，由小到大排列后第 6 个与第 7 个位置上的数都是 20，这两个数的平均数也是 20.所以该队队员年龄的众数与中位数分别是 19 岁，20 岁5为了了解某校九年级 1 600 名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试 1
8、分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据，下列结论错误的是()A该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25B该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 27.5C该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的约有 320 人D该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 次的约有 32 人【解析】选 D.频率分布直方图中，中位数是频率为 0.5 的分界点的横坐标，由频率分布直方图可知前 2 组的频率和为0.020.0650.4，因此中位数出现在第 3 组设中位数为 x，则x250.080.1，x26.25，所以
9、A 正确；众数是指样本中出现频率最高的数，在频率分布直方图中通常取纵坐标最高的一组区间的中点，所以众数为2530227.5，所以 B 正确；仰卧起坐次数超过 30 的频率为 0.0450.2，所以频数为 1 6000.2320 人，所以 C 正确；仰卧起坐的次数少于 20 次的人数约有 0.0251 600160，所以 D 错误二、多选题6已知一组数据：12，5，9，5，14，则下列说法正确的是()A平均数是 9 B中位数是 9C众数是 5 D均值为 5【解析】选 ABC.数据描述类的题目，主要考查了平均数、中位数、众数的计算，题目数据比较简单，先从简单的众数入手，C 是正确的，其次从小到大排
10、列：5，5，9，12，14，B 是正确的，再算平均数，所以 A 也正确，均值实际上是平均数，所以选项 D 错误7小华所在的年级一班共有 50 名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是 1.65 米，而小华的身高是 1.66 米，则下列说法正确的是()A1.65 米是该班学生身高的平均水平B班上比小华高的学生人数不会超过 25 人C这组身高数据的中位数不一定是 1.65 米D这组身高数据的众数不一定是 1.65 米【解析】选 ACD.本题考查了一组数据中的中位数、平均数、众数的概念及三者的求法，由平均数所反映的意义知 A 选项正确，由中位数与平均数的关系确定 C 选项正
11、确，由众数与平均数的关系确定 D 选项正确，由于平均数受一组数据中的极端值的影响，故 B 选项错误三、填空题8已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为_【解析】46587666.答案：69某商场一天中售出某品牌运动鞋 20 双，其中各种尺码鞋的销量如表所示：鞋的尺码(单位:cm)23.52424.52525.526销售量(单位:双)344711则这 20 双鞋的尺码组成的一组数据中，众数是_，中位数是_，在众数和中位数中，商场最感兴趣的是_【解析】因为这组数据中，25 出现的次数最多，所以这组数据的众数是 25；将该组数据从小到大排列后，处于中间位置的是第 10 个数和第
12、11 个数，均为 24.5，故该组数据的中位数是 24.5；在众数和中位数中，商场最感兴趣的是众数答案：25 24.5 众数四、解答题10某公司销售部有销售人员 15 人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这 15人某月的销售量如表：(1)求这 15 位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为 320 件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较合理的销售定额销售量 1 800 510 250 210 150 120人数113532【解析】(1)平均数为 115(1 800151012503210515031202)320，中位
13、数为 210，众数为 210.(2)不合理因为 15 人中有 13 人的销售量达不到 320 件，也就是说，320 虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平销售定额为 210 件合理些，这是由于 210 既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售量11某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为 100 分，根据结果择优录用三位候选人的各项测试成绩如表所示：测试项目测试成绩甲乙丙教学能力857373科研能力707165组织能力647284(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；(2)根据实际需要，学校将教学、科
14、研和组织三项能力测试得分按 532 的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由【解析】(1)甲的平均成绩为(857064)373，乙的平均成绩为(737172)372，丙的平均成绩为(736584)374，所以候选人丙将被录用(2)甲的测试成绩为：(855703642)(532)76.3，乙的测试成绩为：(735713722)(532)72.2，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8，所以候选人甲将被录用一、选择题1为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为 me，众数为 mo，平均数为 x，则()
15、Amemo xBmemo xCmemo xDmome x【解析】选 D.由题图可知，30 名学生的得分情况依次为：2 个人得 3 分，3 个人得 4分，10 个人得 5 分，6 个人得 6 分，3 个人得 7 分，2 个人得 8 分，2 个人得 9 分，2个人得 10 分中位数为第 15，16 个数(分别为 5，6)的平均数，即 me5.5，5 出现的次数最多，故 mo5，x 130 2334105663728292105.97.于是得 mome x.2某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，95 分的有 1 人，90 分的有 2人，85 分的有 4 人，80 分和 75 分的
16、各 1 人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A85 分、85 分、85 分B87 分、85 分、86 分C87 分、85 分、85 分D87 分、85 分、90 分【解析】选 C.由题意知，该学习小组共有 10 人，因此众数和中位数都是 85 分，平均数为1009529048580751087 分3(多选)下列各选项不正确的是()A中位数是一组数据中间的数B众数是一组数据中出现次数最多的数，给定一组数据，它可有多个众数，也可能没有众数C一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的D若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变【解析】选 ACD.A.由中位数
17、的定义可知，中位数与一组数据个数的奇偶性有关B由众数的定义可知，众数是一组数据中出现次数最多的数在数据 1，1，1，2，2，2，3 中就有两个众数 1 和 2；在数据 1，3，4，6，8，2 中就没有众数C由众数的定义可知，一个样本的众数可能有一个，也可能有多个D若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变二、填空题4已知一组数据按从小到大排列为1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是 5，那么这组数据的众数是_，平均数是_【解析】因为中位数为 5，所以4x25，即 x6.所以该组数据的众数为 6，平均数为104661565.答案：6 55某高校有甲、乙
18、两个数学建模兴趣班其中甲班有 40 人，乙班有 50 人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是 90 分，乙班的平均成绩是 81 分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是_分【解析】由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是409050819085(分).答案：856某住宅小区 6 月份随机抽查了该小区 6 天的用水量(单位：吨)，结果分别是 30，34，32，37，28，31，那么，请你估计该小区 6 月份(30 天)的总用水量约是_吨【解析】(303431)632(吨)，所以估计该小区 6 月份(30 天)的总用水量约是 3230960(吨).答案：9607从甲、乙、丙三个厂家生产的同
19、一种产品中分别抽取 8 件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是 8 年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数甲：_，乙：_，丙：_【解析】对甲分析：8 出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：8 既不是众数，也不是中位数，求平均数可得，平均数18(4666891213)8，故运用了平均数；对丙分析：共 8 个数据，最中间的是 7 和 9，故其中位数是 8，即运用了中位数答案：众
20、数 平均数 中位数三、解答题8下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：老板大厨二厨采购员杂工服务生会计3 000 元 450 元 350 元400 元320 元320 元410 元(1)计算所有人员的周平均收入；(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？【解析】(1)周平均收入 x117(3 000450350400320320410)750(元).(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员(3)去掉老板的收入后的周平均收入 x216(450350400320320410)375(元).这能代表打工人员的周收入水平