1、第三节圆的方程最新考纲1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题的思想考向预测考情分析：求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问题仍是高考考查的热点，题型将以选择与填空题为主，也可能出现在解答题中学科素养：通过求圆的标准方程及利用圆的方程求最值，考查数学运算、直观想象的核心素养积 累 必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1圆的定义及方程定义平面内与_的距离等于_的点的集合(轨迹)标准方程_(r0)圆心：_，半径：_一般方程_(D2E24F0)圆心：_，半径：_2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)
2、2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(2)若M(x0，y0)在圆上，则_(3)若M(x0，y0)在圆内，则_二、必明2个常用结论1以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.2二元二次方程表示圆的条件对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件三、必练4类基础题(一)判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件
3、是AC0，B0，D2E24AF0.()(二)教材改编2必修2P124A组T1改编圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A(2，3)，3 B(2，3)，3C(2，3)，13 D(2，3)，133必修2P124A组T4改编圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_(三)易错易混4(错用点与圆的位置关系)若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da45(忽略方程中变量的取值范围)已知点P(x，y)为圆x2y21上的动点，则x24y的最大值为_(四)走进高考6天津卷在平面直角坐标系中，经过三点(0，0
4、)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为_提 升 关键能力考点突破掌握类题通法考点一求圆的方程基础性12022赤峰二中检测已知圆心在x轴上，半径为5的C位于y轴左侧，且与直线xy0相切，则C的方程是()A(x10)2y25B(x5)2y25C(x10)2y25Dx2(y10)252以点(1，1)为圆心，且与直线xy20相切的圆的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)28D(x1)2(y1)283若直线l：mxny30始终平分圆C：x22xy23y10，则2m3n()A6 B3C3 D64已知圆x2y22mx(4m2)y4m24m10(m0)的圆心在直线xy
5、70上，则该圆的面积为()A4B2CD2反思感悟求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质考点二与圆有关的最值问题综合性角度1借助几何性质求最值例1已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小
6、值；(3)求x2y2的最大值和最小值听课笔记：一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x4y120的距离的最大值和最小值反思感悟与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如y-bx-a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.角度2建立函数关系求最值例2(1)若点P为圆x2y21上的一个动点，点A(1，0)，B(1，0)为两个定点，则|PA|PB|的最大值为()A2 B22C4 D42(2)2022山东潍坊模拟设点P(x，y)
7、是圆x2+y-321上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则PAPB的最大值为_听课笔记：反思感悟建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值【对点训练】1已知两点A(0，3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2y22y0上的动点，则ABP的面积的最小值为()A6 B112C8 D2122设点P(x，y)是圆：(x3)2y24上的动点，定点A(0，2)，B(0，2)，则|PA+PB|的最大值为_考点三与圆有关的轨迹方程综合性例3已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点
8、的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程听课笔记：反思感悟求与圆有关的轨迹问题的四种方法【对点训练】12022六盘山高级中学测试已知圆C：x2y24x0的圆心和圆上两点A，B构成等边三角形，则AB中点M的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y1)23C(x1)2y22D(x2)2y2322022江苏南通高三测试在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x1)2y21，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T.若PT2PB，则动点P的轨迹方程为()Ax2y214x180Bx2y214x180Cx2y210x180Dx2y210x180第三节圆的方程积累必备知识一
9、、1定点定长(xa)2(yb)2r2(a，b)rx2y2DxEyF0-D2，-E212D2+E2-4F2(1)(x0a)2(y0b)2r2(2)(x0a)2(y0b)2r2(3)(x0a)2(y0b)2r2三、1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由公式可知圆心坐标为(D2，E2)，半径r12D2+E2-4F，解得圆心坐标为(2，3)，半径r13.答案：D3解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|CB|，即a+12+1a-12+9，解得a2，所以圆心为C(2，0)，又|CA|2+12+110，所以圆C的半径为10，所以圆C的方程为(x2)2y21
10、0.答案：(x2)2y2104解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1a)2(1a)24，即1a1.答案：A5解析：因为点P(x，y)为圆x2y21上的动点，所以x24y1y24y(y2)25.因为y1，1，所以当y1时，x24y取得最大值4.答案：46解析：方法一根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆，其圆心为(1，0)，半径为1，则该圆的方程为(x1)2y21.即x2y22x0.方法二设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由已知条件可得F=0，12+12+D+E+F=0，22+2D+F=0，解得D=-2，E=0，F=0，所以所求圆
11、的方程为x2y22x0.答案：x2y22x0提升关键能力考点一1解析：设圆心为C(a，0)(a0)，由题意a25，所以a10.圆方程为(x10)2y25.答案：C2解析：因直线与圆相切，所以圆的半径等于点(1，1)到直线xy20的距离，即rd1-1+212+-1222，则所求圆的方程为(x1)2(y1)28.答案：D3解析：由C：x22xy23y10得圆心C1，-32，因为直线平分圆，所以直线必过圆心1，-32，则m32n30，则2m3n6.答案：A4解析：圆的方程可化为(xm)2(y2m1)2m2(m0)，其圆心为(m，2m1)依题意得，m2m170，解得m2，圆的半径为2，面积为4.答案：
12、A考点二例1解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k-0k2+13.解得k3(如图1)所以yx的最大值为3，最小值为3.解析：(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，在y轴上的截距b取得最大值或最小值，此时2-0+b23，解得b26(如图2)所以yx的最大值为26，最小值为26.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到
13、原点的距离为2-02+0-022，所以x2y2的最大值是(23)2743，x2y2的最小值是(23)2743.一题多变解析：圆心(2，0)到直线3x4y120的距离d6+125185，P(x，y)到直线3x4y120的距离的最大值为 185+3，最小值为185-3.例2解析：(1)由已知可得线段AB是圆x2y21的直径，且|AB|2，APB90.|PA|2|PB|2|AB|24，由基本不等式可得PA+PB22PA2+PB222，当且仅当|PA|PB|时取等号，|PA|PB|22.即|PA|PB|的最大值是22. (2)由题意知PA(2x，y)，PB(2x，y)，所以PAPBx2y24.由于点P
14、(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以PAPB(y3)21y246y12.由圆的方程x2(y3)21知2y4，所以当y4时，PAPB的值最大，最大值为12.答案：(1)B(2)12对点训练1解析：x2y22y0可化为x2(y1)21，则圆C为以(0，1)为圆心，1为半径的圆如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时ABP的面积最小，直线AB的方程为x4+y-31，即3x4y120，圆心C到直线AB的距离d165，又|AB|32+425，所以ABP的面积的最小值为125165-1112.答案：B2解析：由题意知PA(x，2y)，PB(
15、x，2y)，所以PA+PB(2x，2y)由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x3)2y24，故y2(x3)24，所以|PA+PB|4x2+4y226x-5.由圆的方程(x3)2y24，易知1x5，所以当x5时，|PA+PB|的值最大，最大值为265-510.答案：10考点三例3解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.对点训练1解析：圆C：x2y24x0(x2)2y24，所以圆心(2，0)，半径r2, 因为ABC为等边三角形，且ACBC2，所以AB2，MC3223，所以M的轨迹是以C为圆心，半径为3的圆，所以AB中点M的轨迹方程是(x2)2y23.答案：D2解析：设P(x，y)，PT2PB，PT22PB2(x1)2y212(x3)2y2整理得：x2y210x180.答案：C