1、第二章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列曲线中离心率为62 的是()A.22 24=1B.24 22=1C.24 26=1D.24 210=1解析:双曲线24 22=1 的离心率 e=4+22=62.答案:B2.平面上有两个定点 A,B 及动点 P,命题甲:“|PA|-|PB|是定值”,命题乙:“点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线”,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当|PA|-|PB|=|AB|时,点 P 的轨迹是一条射线,故甲乙,而乙甲,故选
2、B.答案:B3.已知椭圆与双曲线23 22=1 有共同的焦点,且离心率为15,则椭圆的标准方程为()A.220+225=1B.225+220=1C.225+25=1D.25+225=1解析:双曲线23 22=1 中,12=3,12=2,则 c1=12+12=5,故焦点坐标为(-5,0),(5,0),故所求椭圆22+22=1(ab0)的 c=5,又椭圆的离心率 e=15,则 a=5,a2=25,b2=a2-c2=20,故椭圆的标准方程为225+220=1.答案:B4.已知双曲线 C:22 22=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在双曲线 C 的渐近线上,则双曲线 C 的方程为()A.220 2
3、5=1B.25 220=1C.280 220=1D.220 280=1解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.22 22=1 的焦距为 10,c=5=2+2.又双曲线渐近线方程为 y=x,且 P(2,1)在渐近线上,2=1,即 a=2b.由解得 a=25,b=5,故选 A.答案:A5.(2017 全国高考)已知 F 是双曲线 C:x2-23=1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则APF 的面积为()A.13B.12C.23D.32解析:由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0).将 x=2 代入 x2-23=1
4、,得 y=3,所以|PF|=3.又点 A 的坐标是(1,3),故APF 的面积为123(2-1)=32,故选 D.答案:D6.已知双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y=3x,它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为()A.236 2108=1B.29 227=1C.2108 236=1D.227 29=1解析:抛物线 y2=24x 的准线方程为 x=-6,故双曲线中 c=6.由双曲线22 22=1 的一条渐近线方程为 y=3x,知=3,且 c2=a2+b2.由解得 a2=9,b2=27.故双曲线的方程为29 227=1,故选 B.答案:B7.P 是长轴
5、在 x 轴上的椭圆22+22=1 上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c,则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2解析:由椭圆的几何性质得|PF1|a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|(|1|+|2|2)2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值与最小值之差为 a2-b2=c2.答案:D8.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交
6、于 A,B 两个不同的点,且 AB 的中点的横坐标为 2,则 k 等于()A.2 或-1B.-1C.2D.15解析:由=-2,2=8 消去 y,得 k2x2-4(k+2)x+4=0,故=-4(k+2)2-4k24=64(1+k)0,解得 k-1,由 x1+x2=4(+2)2=4,解得 k=-1 或 k=2,又 k-1,故 k=2.答案:C9.设双曲线22 22=1 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.5解析:双曲线22 22=1 的一条渐近线方程为 y=x,由方程组=,=2+1消去 y,得 x2-x+1=0 有唯一解,所以=()2
7、-4=0,所以=2,所以 e=2+2=1+()2=5,故选 D.答案:D10.在抛物线 y2=8x 中,以(1,-1)为中点的弦的方程是()A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0解析:设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),则12=8x1,22=8x2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),又 y1+y2=-2,1-21-2=-4,弦所在直线的斜率为-4,又过点(1,-1),所求直线方程为 4x+y-3=0.答案:C11.如图,南北方向的公路 L,A 地在公路正东 2 km 处,B 地在 A 北偏东 60方
8、向 23 km 处,河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 L 和到 A 地距离相等.现要在曲线 PQ 上某处建一座码头,向 A,B 两地运货物,经测算,从 M 到 A,B 修建公路的费用都为 a 万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是()A.(2+3)a 万元B.(23+1)a 万元C.5a 万元D.6a万元解析:本题主要考查抛物线的实际应用.依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、L 为准线的抛物线,根据抛物线的定义知,欲求从 M 到 A,B 修建公路的费用最低,只需求出 B 到直线 L 的距离即可.B 地在 A 地北偏东 60方向 23km 处,B 到点 A 的水平距离为 3km,B
9、 到直线 L 的距离为 3+2=5(km),那么,修建这两条公路的总费用最低为 5a 万元,故选 C.答案:C12.(2017 全国高考)设 A,B 是椭圆 C:23+2=1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足AMB=120,则 m 的取值范围是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)解析:由题意,可知当点 M 为短轴的端点时,AMB 最大.当 0m3 时,椭圆 C 的焦点在 x 轴上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足AMB=120,则tan60=3,即 3 3,解得 03 时,椭圆 C 的焦点在 y 轴上,要使椭圆 C 上存在点 M 满足A
10、MB=120,则tan60=3,即3 3,解得 m9,综上 m 的取值范围为(0,19,+),故选 A.答案:A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.(2017 北京高考)若双曲线 x2-2=1 的离心率为3,则实数 m=.解析:由题意知 a=1,b=,m0,c=2+2=1+,则离心率 e=1+=3,解得 m=2.答案:214.设椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别是 F1,F2,线段 F1F2被点(2,0)分成 31 的两段,则此椭圆的离心率为 .解析:由题意,得2+-2=32+c=3c-32bb=c,因此 e=22=22+2=12=22.答案:2215
11、.已知抛物线 C:y2=2px(p0),过焦点 F 且斜率为 k(k0)的直线与 C 相交于 A,B 两点,若=3,则k=.解析:设直线 l 为抛物线的准线,过 A,B 分别作 AA1,BB1垂直于 l,A1,B1为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1于E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,cosBAE=|=12,BAE=60,tanBAE=3,即 k=3.答案:316.以下四个关于圆锥曲线的命题:设 A,B 为两个定点,k 为非零常数,|-|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线;过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若=12(+),则动点 P 的轨迹为
12、椭圆;方程 2x2-5x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;双曲线225 29=1 与椭圆235+y2=1 有相同的焦点.其中正确命题的序号是 .解析:双曲线的定义是:平面上与两个定点 A,B 的距离的差的绝对值为常数 2a,且 02a0,b0),又双曲线过点(0,2),c=5,a=2,b2=c2-a2=25-4=21,双曲线的标准方程是24 221=1,实轴长为 4,焦距为 10,离心率 e=52,渐近线方程是 y=22121 x.18.(本小题满分 12 分)若已知椭圆210+2=1 与双曲线 x2-2=1 有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P(103,),求椭圆及双曲线的方程
13、.解由椭圆与双曲线有相同的焦点,得 10-m=1+b,即 m=9-b,由点 P(103,)在椭圆、双曲线上,得 y2=89m,y2=9,解由组成的方程组得 m=1,b=8,椭圆方程为210+y2=1,双曲线方程为 x2-28=1.19.导学号 01844027(本小题满分 12 分)(2017 全国高考)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:22+y2=1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足=2.(1)求点 P 的轨迹方程;(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且 =1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)解设 P(x,y),M(x0
14、,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=2 得 x0=x,y0=22 y.因为 M(x0,y0)在 C 上,所以22+22=1.因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)证明由题意知 F(-1,0).设 Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由 =1 得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即 .又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.20.导学号 01
15、844028(本小题满分 12 分)(2017 北京高考)已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为32.(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点E.求证:BDE 与BDN 的面积之比为 45.(1)解设椭圆 C 的方程为22+22=1(ab0).由题意得=2,=32,解得 c=3.所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C 的方程为24+y2=1.(2)证明设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m2,且 n0.直
16、线 AM 的斜率 kAM=+2,故直线 DE 的斜率 kDE=-+2.所以直线 DE 的方程为 y=-+2(x-m),直线 BN 的方程为 y=2-(x-2).联立=-+2(-),=2-(-2),解得点 E 的纵坐标 yE=-(4-2)4-2+2.由点 M 在椭圆 C 上,得 4-m2=4n2.所以 yE=-45n.又 SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1:24+y2=1,椭圆 C2以 C1的长轴为短轴,且与 C1有相同的离心率.(1)求椭圆 C2的方程;(2)设 O
17、为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1和 C2上,=2,求直线 AB 的方程.解(1)由已知可设椭圆 C2的方程为22+24=1(a2),其离心率为32,故2-4=32,解得 a=4.故椭圆 C2的方程为216+24=1.(2)设 A,B 两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由=2 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.将 y=kx 代入24+y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以2=41+42.将 y=kx 代入216+24=1 中,得(4+k2)x2=16,所以2=164+2.又由=2,得2=42,即164
18、+2=161+42,解得 k=1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.22.导学号 01844029(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:22+22=1(ab0)的短轴长为 2,离心率为22,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 的垂直平分线通过点(0,-12).(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求AOB(O 为坐标原点)面积的最大值.解(1)由已知可得=22,2=2,2=2+2,解得 a2=2,b2=1,故椭圆 C 的标准方程为22+y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程=+,22+2=1,消去 y 得(1+2k2)x2+
19、4kmx+2m2-2=0.当=8(2k2-m2+1)0,即 2k2m2-1 时,x1+x2=-41+22,x1x2=22-21+22,所以1+22=-21+22,1+22=1+22.当 k=0 时,线段 AB 的垂直平分线显然过点(0,-12),SAOB=12|AB|m|=12|m|22 1-2=2(1-2)2.因为 m(-1,0)(0,1),所以 m2(0,1).SAOB2 (1-12)12=22,当 m2=12时,取到等号.当 k0 时,因为线段 AB 的垂直平分线过点(0,-12),所以1+22-(-12)1+22-0=-1,化简整理得 2k2+1=2m.由22+1=2,22+1 2,得 0m2.又原点 O 到直线 AB 的距离 d=|1+2,|AB|=1+2|x1-x2|=21+242-22+21+22,所以 SAOB=12|AB|d=|42-22+21+22,而 2k2+1=2m 且 0m2,则 SAOB=12 4-22,0m2.所以当 m=1,即 k2=12时,SAOB取得最大值22.综上,SAOB最大值为22.
