1、2015-2016学年山东省临沂十八中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设i为虚数单位，则复数的虚部为（）A3iB3C3iD32将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A6种B10种C20种D30种3用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（）Aa，b都不能被5整除Ba，b都能被5整除Ca，b中有一个不能被5整除Da，b
2、中有一个能被5整除4在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A0.998B0.046C0.002D0.9545由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD66从编号为1，2，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）ABCD7设函数f（x）=ax2+b（a0），若f（x）dx=2f（x0），x00，则x0=（）A2BC1D8若（1+2x）2016=a0+a1x+a2x2
3、+a2016x2016（xR），则+的值为（）A2B1C0D1925人排成55方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（）A60种B100种C300种D600种10设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，有xf（x）f（x）0恒成立，则不等式0 的解集为（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（0，2）D（，2）（2，+）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.11已知z（2i）=1+i，则=_12具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：X0123y11m8若y与x的回归直
4、线方程为=3x，则m的值是_13公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高X服从正态分布N（单位：cm），参考以下概率P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544，P（3X+3）=0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为_14若函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，则实数a的取值范围是_15若函数y=f（x）的导数y=f（x）仍是x的函数，就把y=f（x）的导数y=f（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y（2）=f（2）（x）同样函数y=f（x）的n1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y（n）=f（n）（x）在求y=ln
5、（x+1）的n阶导数时，已求得，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为_三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程16临沂市某高二班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查：喜欢玩游戏的27人中，认为作业多的有18人，不喜欢玩游戏的同学中认为作业多的有8人（1）根据以上数据建立一个22的列联表；（2）试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？17设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点（n，）都在函数f（x）=x+ 的图象上（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式；（2）并用数学归纳法证明你的猜想18甲、乙
6、二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙二人依次各抽一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？19已知函数f（x）=x2+2alnx（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2）处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数g（x）=+f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围20某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产
7、品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望21已知函数f（x）=lnf（1）x（1）求f（2）；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设a1，函数g（x）=x23ax+2a25，若对于任意x0（0，1），总存在x1（0，2）使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围2015-2016学年山东省临沂十八中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设i为虚数单位，则复数的虚部为（）A3iB3C3iD3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的
8、运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=43i的虚部为3故选：D2将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A6种B10种C20种D30种【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2步进行；先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，再分析剩下的2个盒子，2个球，其编号与球的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，先在五个盒子中确定3个，使其编号与球的编号相同，有C53=10种情况，剩下有2个盒子，2个球；其编号与球
9、的编号不同，只有1种情况；由分步计数原理，共有110=10种，故选B3用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（）Aa，b都不能被5整除Ba，b都能被5整除Ca，b中有一个不能被5整除Da，b中有一个能被5整除【考点】反证法的应用；反证法【分析】根据反证法的定义即可得到结论【解答】解：根据反证法的定义可知，a，b中至少有一个能被5整除的反设为a，b都不能被5整除，故选：A4在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两
10、枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A0.998B0.046C0.002D0.954【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】三架武装直升机各向目标射击一次，可以设Ak表示“第k架武装直升机命中目标”分两种情况：恰有两架武装直升机命中目标，分为三种：甲乙射中丙不中或甲丙射中乙不中或乙丙射中甲不中；三架直升机都命中分别求出其概率，再用加法原理，相加即可得到目标被摧毁的概率【解答】解：设Ak表示“第k架武装直升机命中目标”k=1，2，3这里A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.9，P（A2）=0.9，P（A3）=0.8恰有两人命中目标的概率为P（）=P（A1）P（A2）
11、P（）+P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）=0.90.90.1+0.90.10.8+0.10.90.8=0.306三架直升机都命中的概率为：0.90.90.8=0.648目标被摧毁的概率为：P=0.306+0.648=0.954故选D5由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6【考点】定积分在求面积中的应用【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面
12、积为：S=故选C6从编号为1，2，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）ABCD【考点】等可能事件【分析】本小题主要考查组合的基本知识及等可能事件的概率，从10个球中取球，每个球被取到的概率相等，用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数，求比值，得结果【解答】解：从10个大小相同的球中任取4个有C104种方法，若所取4个球的最大号码是6，则有一个球号码是6，另外三个球要从1、2、3、4、5号球中取3个，有C53种方法，故选B7设函数f（x）=ax2+b（a0），若f（x）dx=2f（x0），x00，则x0=（）A2BC1D【考点】定积分【分析】求出f（
13、x）的定积分，由f（x）dx=2f（x0），x00求解x0的值【解答】解：函数f（x）=ax2+b（a0），由f（x）dx=2f（x0），得=，2f（x0）=2，由，解得故选：D8若（1+2x）2016=a0+a1x+a2x2+a2016x2016（xR），则+的值为（）A2B1C0D1【考点】二项式定理的应用【分析】在所给的等式中，令x=0可得a0=1；令x=，得：a0+=0，从而求出+的值【解答】解：在（1+2x）2016=a0+a1x+a2016x2016中，令x=0可得，（1+02）2016=a0，即a0=1，在（1+2x）2016=a0+a1x+a2016x2016中，令x=可得，（
14、12）2016=a0+=0，而a0=1，+=1，故选：D925人排成55方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法为（）A60种B100种C300种D600种【考点】计数原理的应用【分析】本题是一个计数原理的应用，从5列中选择三列C53=10；从某一列中任选一个人甲有5种结果；从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果；从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙有3种结果，相乘得到结果【解答】解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从5列中选择三列C53=10；从某一列中任选一个人甲有5种结果；从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果；从剩下的一列中选一个与甲和乙不同行的丙
15、有3种结果根据分步计数原理知共有10543=600故选D10设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，有xf（x）f（x）0恒成立，则不等式0 的解集为（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（0，2）D（，2）（2，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用导数求得在（0，+）上为减函数，它在（，0）上也是减函数，且f（2）=0，再由不等式0可得x的范围【解答】解：由于当x0时，有xf（x）f（x）0恒成立，故=0，故在（0，+）上为减函数根据f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，可得它在（，0）上是减函数，且f（2）=0，故由不等式0可得x2，或0x
16、2，故选：C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.11已知z（2i）=1+i，则=【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z（2i）=1+i，=故答案为：12具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：X0123y11m8若y与x的回归直线方程为=3x，则m的值是4【考点】线性回归方程【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案【解答】解：由题意， =1.5， =，样本中心点是坐标为（1.5，），回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x，=
17、31.51.5，m=4故答案为：413公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，设男子身高X服从正态分布N（单位：cm），参考以下概率P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544，P（3X+3）=0.9974，则车门的高度（单位：cm）至少应设计为184cm【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】利用利用P（2X+2）=0.9544，男子身高X服从正态分布N，结合公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，可得结论【解答】解：公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的，利用P（2X+2）=0.9544，男
18、子身高X服从正态分布N（单位：cm），可得车门的高度（单位：cm）至少应设计为170+27=184cm故答案为：184cm14若函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（22ln2，+）【考点】函数的零点【分析】画出函数f（x）=ex2xa的简图，欲使函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0由此求得实数a的取值范围【解答】解：令f（x）=ex2=0，则x=ln2，xln2，f（x）=ex20；xln2，f（x）=ex20；函数f（x）在（ln2，+）上是增函数，在（，ln2）上是减函数函数f（x）=ex2xa在R上有两个零点，所以f（ln2）=
19、22ln2a0，故a22ln2故填：（22ln2，+）15若函数y=f（x）的导数y=f（x）仍是x的函数，就把y=f（x）的导数y=f（x）叫做函数y=f（x）二阶导数，记做y（2）=f（2）（x）同样函数y=f（x）的n1阶导数的导数叫做y=f（x）的n阶导数，表示y（n）=f（n）（x）在求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为【考点】导数的运算【分析】根据导数的计算和归纳推理即可求出答案【解答】解：求y=ln（x+1）的n阶导数时，已求得，根据以上推理，函数y=ln（x+1）的第n阶导数为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分
20、，解答应写出文字说明、证明过程16临沂市某高二班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查：喜欢玩游戏的27人中，认为作业多的有18人，不喜欢玩游戏的同学中认为作业多的有8人（1）根据以上数据建立一个22的列联表；（2）试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系？【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由题意分别求得喜欢玩游戏认为作业多、认为作业不多的，不喜欢游戏认为作业多的8人、作业不多的人数，即可建立22的列联表如下；（2）根据表中所给的数据，代入求观测值的算式，求出观测值，把所求的观测值同临界值进行比较，得到喜欢玩游戏与作业量的多少有关系的把握【解答】
21、解：（1）由题意可知：喜欢玩游戏认为作业多的有18人，认为作业不多的由2718=9人，不喜欢游戏认为作业多的8人，不喜欢玩游戏认为作业不多的由501898=15人，故可建立22的列联表如下：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏18927不喜欢玩游戏81523合计262450 （2）将表中的数据代入公式K2=，得到K2的观测值：K2=5.0595.024，查表知P（K25.024）=0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系 12分17设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点（n，）都在函数f（x）=x+ 的图象上（1）求a1，a2，a3的值，
22、猜想an的表达式；（2）并用数学归纳法证明你的猜想【考点】数学归纳法；归纳推理【分析】（1）由题意可得Sn=n2+an 分别令n=1，2，3，即可求出a1，a2，a3的值，并猜想an的表达式，（2）用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可【解答】解（1）：因为点（n，）都在函数f（x）=x+ 的图象上，故=n+，Sn=n2+an 令n=1，得a1=1+a1，a1=2；令n=2，得a1+a2=4+a2，a2=4；令n=3，得a1+a2+a3=9+a3，a3=6；由此猜想：an=2n （2）证明：当n=1时，由上面的求解知，猜想成立 假设
23、n=k（k1）时猜想成立，即：ak=2k成立，则当n=k+1时，注意到Sn=n2+an，故Sk+1=（k+1）2+ak+1，Sk=k2+ak，两式相减，得ak+1=2k+1+ak+1ak，ak+1=4k+2ak，由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+22k=2（k+1）这说明n=k+1时，猜想也成立 由知，对一切nN*，an=2n成立18甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个甲、乙二人依次各抽一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【考点】等可能事件的概率；组合及组合数公式【分析】（1）由
24、题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题，满足条件的事件是甲从选择题中抽到一题，乙依次从判断题中抽到一题根据分步计数原理知故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果，根据概率公式得到结果（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C61C41个；试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一
25、题的可能结果有概率为C101C91个，甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为，所求概率为（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为，所求概率为19已知函数f（x）=x2+2alnx（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2）处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数g（x）=+f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）由导数的几何意义得f（2）=1，解得即可；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得g（x
26、）0在1，2上恒成立，即在1，2上恒成立即在1，2上恒成立利用导数求出函数，在1，2上的最小值，即可得出结论【解答】解：（1）由已知f（2）=1，解得a=3（2）由得，由已知函数g（x）为1，2上的单调减函数，则g（x）0在1，2上恒成立，即在1，2上恒成立即在1，2上恒成立令，在1，2上，所以h（x）在1，2为减函数.，所以20某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立（）求至少有一种新产品研发成功的概率；（）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求
27、该企业可获利润的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）利用对立事件的概率公式，计算即可，（）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可【解答】解：（）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为（）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，所以X的分布列如下：X0120100220P（x
28、）则数学期望E（X）=14021已知函数f（x）=lnf（1）x（1）求f（2）；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设a1，函数g（x）=x23ax+2a25，若对于任意x0（0，1），总存在x1（0，2）使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对f（x）进行求导，得到导数f（x），再令x=1代入f（x），求得f（1），即可求f（2）；（2）对f（x）进行求导，求出极值点，利用导数求得函数的单调区间；（3）函数g（x）=x23ax+2a25，若对于任意x0（0，1），总存在x1（0，2），使得f（x1）=g（x0
29、）成立，将其转化为g（x）的最值问题，只要g（x）的最大值小于等于0即可满足【解答】解：（I）f（x）=lnf（1）x，f（x）=f（1），令x=1，可得f（1）=1f（1），解得f（1）=，f（2）=f（1）=0（2）由f（x）=0，得x=2，x0，当0x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，故f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+）；极大值为f（2）=0（3）f（2）=0，由（2）可知f（x）在（0，2）上的值域为：（，0）要使对任意x0（0，1），总存在x1（0，2），使得f（x1）=g（x0）成立，可得函数g（x）的最大值小于等于0即可，g（x）=x23ax+2a25，x（0，1），a1，函数的对称为x=，开口向上，g（x）在（0，1）上为减函数，g（x）g（0），所g（x）的最大值为g（0）=2a25，g（0）=2a250，a1，1a2016年9月27日
