1、江苏省盐城中学2020届高考数学下学期5月模拟考试试题（含解析）一、填空题1.已知集合，若则实数的值为_【答案】1【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1点睛:（1）认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件（2）注意元素互异性在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误（3）防范空集在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解2.若复数满足（是虚数单位），则复数的实部是_.【答案】1【解析】【分析】通过复数方程，两边同乘1
2、-2i，然后求出复数z即可【详解】因为复数z满足(1+2i)z=3+4i,所以(12i)(1+2i)z=(3+4i)(12i)，即5z=5+10i，所以z=1+2i,实部为1.故答案为：1.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数的实部，不能写成复数的结果。本题属于基础题。3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为_【答案】8【解析】分析：先判断是否成立，若成立，再计算，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场
3、比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为_.【答案】【解析】【分析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可【详解】解：根据茎叶图中的数据，计算甲的平均数为，乙的平均数为；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），计算乙成绩的方差为：故答案为：【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，属于基础题5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为_.【答案】30.【解析】【分析】讨论选择的数字是0和2两种情况，分别计算得到答案.【详解】若从0、2中选一个数字是
4、0，则组成三位数有个；若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有个，故一共有30个故答案为：.【点睛】本题考查了排列组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且过点，则双曲线的焦距等于_.【答案】【解析】【分析】根据题意得出，然后将点的坐标代入双曲线的标准方程，可求出、的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，所以，双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的标准方程得，得，因此，双曲线的焦距为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出、的值，考查运算求解能力，属于中等
5、题.7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有 【答案】【解析】试题分析：设球的直径为2R，则考点：球的表面积8.已知函数，若，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】解方程即得a的值.【详解】 ，因为所以解得a故答案为【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知函数图象一条对称轴是直线，则的值为_【答案】【解析】【分析】由函数图象的一条对称轴是直线可得，结合解得，代入中计算即可得到答案.【详解】由题意，即，又，所以，故.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的对称性质，考查学生的数学运算能力，是一道
6、容易题.10.已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则_【答案】2【解析】【分析】先由为等比数列可得，由为等比数列，可得也为等比数列，根据等比数列的通项公式的特点可求解.【详解】已知是首项为2，公比为的等比数列.所以.为等比数列,则也为等比数列.所以，即.故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式的特点和等比数列的前项和的公式，属于中档题.11.如图，在平面四边形中，、分别为边、的中点，则_【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出的值.【详解】以点为坐标原点，、分别为轴、轴
7、的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，直线与圆交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将直线与圆联立方程组消去可得，利用根与系数关系可得，再根据直线与圆相交，利用判别式求出的范围，进而求出点M的横坐标的取值范围【详解】由消去得，所以，所以，因为直线与圆交于点A，B两点，所以，所以，令，所以，其在上单调递减，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题13.已知的面积为，且，
8、则的值为_.【答案】【解析】【分析】将正切化为弦，结合边角互化思想得出，然后利用三角形的面积公式结合三角恒等变换思想得出的值，并利用弦化切的思想可求出的值.【详解】设的内角、的对边分别为、，则，由边角互化思想得，的面积为，即，整理得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中正切值的计算，同时也考查了三角形的面积公式、边角互化思想以及弦切互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.14.已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出直线关于直线对称的直线的方程，然后将问题转化为直线与函数的图象有两个交点，构造函数，将问题转化为直线
9、与函数的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.【详解】直线关于直线对称的直线的方程为，即，对应的函数为.所以，直线与函数的图象有两个交点.对于一次函数，当时，且.则直线与函数的图象交点的横坐标不可能为.当时，令，可得，此时，令.当时，当时，；当时，.此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的极小值为；当时，当时，；当时，.此时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的极大值为.作出函数和函数的图象如下图所示：由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考
10、查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、解答题15.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为棱的中点，平面.（1）求证：平面；（2）若四边形是矩形且，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接交于，可得知点为的中点，利用中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）证明出平面，可得出，由等腰三角形三线合一的思想得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面.【详解】（1）连接交于，因为是平行四边形，所以是的中点，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平
11、面；（2）因为且是的中点，所以，又因为平面，平面，所以，因为四边形是矩形，所以，因为、平面且，所以平面，又因为平面，所以，、平面且，所以平面.【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的证明，在证明时要严格根据判定定理组织论据，考查推理论证能力，属于中等题.16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB（）若c2a，求的值；（）若CB，求sinA的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理及得出b,c关系，再利用正弦定理即可求出；（2）根据正余弦的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，即可解出.试题解析：（1）解法1：在中，因为，所以.因为，所以，即，所以.又由正弦定
12、理得，所以.解法2：因为，所以.因为，由正弦定理得，所以，即.又因为，解得，所以.（2）因，所以.又，所以，所以.因为，即，所以，所以试题点睛：解决此类问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系与两角和的正弦公式，以及三角形中角之间的关系17.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.（）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（
13、）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（）500名（）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（）由题意，得，整理得，解得，又，最多调整出500名员工从事第三产业.（）从事第三产业员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，又
14、，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆：过点，离心率为，、分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于、两点（1）求椭圆的标准方程；（2）记、的面积分别为、，若，求的值；（3）记直线、的斜率分别为、，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意得出关于、的方程组，求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，由，可得出，利用共线向量的坐标运算以及点、在椭圆上，列方程组求出点的坐标，然后利用斜率公式可求出的值；（3）可得出直线的方程为，将该直线方程与椭圆的标准方程联
15、立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出的值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，椭圆过点，离心率为，解得，因此，椭圆的方程为；（2）设点、，整理可得，即，.代入坐标，可得，即，又点、在椭圆上，解得，直线的斜率；（3）直线的方程为，由消去得，又，因此，.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积比的计算以及斜率的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性；（3）若有两个极值点、，且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；
16、（3）.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，求出该函数的导数，计算出和的值，然后利用点斜式可写出函数在处的切线方程；（2）求出函数的定义域和导数，计算出二次函数的判别式，分和两种情况讨论，可得出函数的单调区间；（3）由（2）得知，且方程的两根分别为、，利用韦达定理得出，由参变量分离法得出，结合韦达定理得出，利用导数求出关于的函数在上的值域，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，所以，函数在处的切线方程为，即；（2）函数定义域为，二次函数的判别式.若时，即当时，对任意的，此时，函数单调递增区间为，无减区间；若时，即当时，由，得或当，或时，当时，此时，函数单调递增区间为，单调递减区间
17、为；（3）由（2）知，且，不等式恒成立等价于恒成立，又.所以，令，则，所以在上单调递减，所以，所以.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及含参函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及韦达定理的应用，考查分类讨论思想与化归与转化思想的应用，属于难题.20.已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.（1）若，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.【答案】（1）；（2），当时，；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用数列的通项公式判断其增减性，从而确定，的表达式，进而求出数列的通项公
18、式；（2）由计算，时，数列单调递减，所以当时，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列的公差为，则，讨论，三种情况，分别证明数列为等差数列即可.【详解】（1）由得是递增数列，所以，所以.（2）由得，当，即；当，即.又，所以，当时，所以，当时，令，则，即.所以.综上所述，当时，.（3）设数列的公差为，则，由题意，对任意都成立，即，所以是递增数列.所以，所以，所以数列是公差为的等差数列；当时，对任意都成立，进面，所以是递减数列.，所以所以数列是公差为的等差数列；当时，因为与中至少有一个为0，所以二者都为0，进而可得数列为常数列，综上所述，数列为等差数列.【点睛】本题考查数列的通项
19、公式、前n项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.21.已知a，b，c，dR，矩阵A 的逆矩阵A1.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到直线y2x1，求曲线C的方程【答案】2x5y10.【解析】【分析】根据AA1解得A，设P(x，y)为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点P(x，y)，利用矩阵的线性变换，用表示，将代入y2x1并整理即可得到答案.【详解】由题意得，AA1，即 ，所以a1，b1，c2，d0，即矩阵A，.设P(x，y)
20、为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点P(x，y)，则 ，即由已知条件可知，P(x，y)满足y2x1，整理得2x5y10，所以曲线C的方程为2x5y10.【点睛】本题考查了由矩阵的逆矩阵求矩阵，考查了矩阵的线性变换，考查运算求解能力，属于基础题.22.在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点，的极坐标分别为，曲线的方程为（）（1）求直线的直角坐标方程；（2）若直线和曲线有且只有一个公共点，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得，问题得解（2）利用直线和曲线相切的关系可得：圆心到直线AB的距离等于圆的半径，列方程即可得解【详解】（1）
21、分别将，转化为直角坐标为，所以直线的直角坐标方程为 （2）曲线C的方程为（），其直角坐标方程为又直线AB和曲线C有且只有一个公共点，即直线与圆相切，所以圆心到直线AB的距离等于圆的半径.又圆心到直线AB的距离为，即的值为【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标互化，还考查了直线与圆相切的几何关系，考查计算能力及点到直线距离公式，属于中档题23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，每个项目测试的概率都是.（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.【答案】(1
22、)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望.详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （2）因为每人可被录用的概率为，所以，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P所以，X的数学期望为 点睛：解离散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单24.如图，是抛物线的焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线交抛物
23、线于、两点，交抛物线的准线于点，其中，过点作轴的垂线交抛物线于点，直线交抛物线于点.（1）求的值；（2）求四边形的面积的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去，得到关于的二次方程，利用韦达定理结合可求出正数的值；（2）由直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，并设点，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，并求出，求出点的坐标，可得出点的坐标，并可得出直线的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理得出点的坐标，并分别计算出点、到直线的距离、，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，设，构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.【详解】（1）设方程为，与联立，消去整理得，所以，得（舍去）或；（2）由（1）知抛物线方程为，准线方程为.因为直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，由得，所以，令，则，所以，直线的方程为，由得，所以，代入，得，所以.到直线的距离为，到直线的距离为，所以四边形的面积，令，则，令，则.当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以，当时，有最小值，因此，四边形的面积的最小值为.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的计算，同时也考查了抛物线中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，涉及了利用导数求最值，考查运算求解能力，属于难题.