1、第一章DIYIZHANG推理与证明习题课数学归纳法的应用课后篇巩固提升A组1.记凸k边形的内角和为f(k),则f(k+1)-f(k)=()A.2B.C.32D.2答案B2.下列代数式中能被9整除的是()(其中kN+)A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(n1,nN+)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7n+1)=21(2+7n)-36=73(2+7n)-36能被9整除,即当k=n+1时命题成立.由(1)(2)知3(2+7k)能被9整除.答案D3.在数列a
2、n中,a1=13,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为()A.1(n-1)(n+1)B.12n(2n+1)C.1(2n-1)(2n+1)D.1(2n+1)(2n+2)解析由a1=13,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(22-1)a2,即a1+a2=6a2,a2=115=135.S3=3(23-1)a3,即13+115+a3=15a3,a3=135=157.同理可得a4=179.据此可猜想an=1(2n-1)(2n+1).答案C4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.(5k-2k
3、)+45k-2kB.5(5k-2k)+32kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-35k解析假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=55k-22k=55k-52k+32k=5(5k-2k)+32k,就可以应用假设.故选B.答案B5.已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切nN+都成立,则a,b,c的值为()A.a=12,b=c=14B.a=b=c=14C.a=0,b=c=14D.不存在这样的a,b,c解析等式对一切nN+都成立,当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得1=3(a-b)+c,1+23=3
4、2(2a-b)+c,1+23+332=33(3a-b)+c,解得a=12,b=c=14.答案A6.用数学归纳法证明“当nN+时,1+2+22+23+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为,从k到k+1时需增添的项是.解析当n=1时,原式应加到251-1=24,原式为1+2+22+23+24.从k到k+1时需添上25k+25k+1+25(k+1)-1.答案1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+47.已知f(n)=1+123+133+143+1n3,g(n)=32-12n2,nN+.(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想
5、f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.解(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,f(1)=g(1).当n=2时,f(2)=98,g(2)=118,f(2)g(2).当n=3时,f(3)=251216,g(3)=312216,f(3)g(3).(2)由(1),猜想f(n)g(n).下面用数学归纳法给出证明:当n=1,2,3时,不等式显然成立.假设当n=k(k3)时不等式成立,即1+123+133+143+1k332-12k2,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+1(k+1)332-12k2+1(k+1)3,12(k+1)2-12k2-1(k+1)3=k+32(k+1)3-12k2
6、=-3k-12(k+1)3k20,f(k+1)32-12(k+1)2=g(k+1).由可知,对一切nN+,都有f(n)g(n)成立.B组1.记等式1n+2(n-1)+3(n-2)+n1=16n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=()A.k+1B.1(k+1)+(k+1)1C.1+2+3+kD.1+2+3+k+(k+1)解析依题意,f(k)=1k+2(k-1)+3(k-2)+k1,则f(k+1)=1(k+1)+2k+3(k-1)+4(k-2)+k2+(k+1)1,f(k+1)-f(k)
7、=1(k+1)-k+2k-(k-1)+3(k-1)-(k-2)+4(k-2)-(k-3)+k(2-1)+(k+1)1=1+2+3+k+(k+1),故选D.答案D2.设正项数列an满足a1+a2+an=Sn,S1S2Sn=Tn,且Sn+Tn=1,则数列1an前10项的和为.解析S1S2Sn=Tn=1-Sn.当n=1时,S1=12,当n=2时,S2=23,当n=3时,S3=34所以猜想可知Sn=nn+1,Tn=1n+1,则S1S2Sn=Tn=1n+1.用数学归纳法证明:当n=1时,左边=12=右边,假设n=k时,等式成立,即S1S2Sk=1k+1,则当n=k+1时,左边=S1S2SkSk+1=1k
8、+1k+1k+2=1k+2=Tk+1,所以对任意的nN*,Sn=nn+1,所以an=Sn-Sn-1=1n(n+1)(n2),当n=1时,a1=12符合上式,所以an=1n(n+1),则1an=n(n+1),所以数列1an前10项的和为12+23+1011=440.答案4403.设nN+,f(n)=5n+23n-1+1.(1)当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;(2)你对f(n)有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想.解(1)当n=1时,f(1)=51+231-1+1=8=81;当n=2时,f(2)=52+232-1+1=32=84;当n=3时,f(3)=53+233-1+1=144=818;
9、当n=4时,f(4)=54+234-1+1=680=885.(2)猜想:当nN+时,f(n)=5n+23n-1+1能被8整除.当n=1时,由(1)知命题成立.假设当n=k(k1,kN+)时命题成立,即f(k)=5k+23k-1+1能被8整除,则当n=k+1时,f(k+1)=5k+1+23(k+1)-1+1=55k+63k-1+1=(5k+23k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1).这里,5k,3k-1都是奇数,二者的和为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除,又f(k)能被8整除,故f(k+1)能被8整除,即当n=k+1时命题也成立.根据和,可知命题对任意nN+都
10、成立.4.观察下列各不等式:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,1+122+132+142+15295,(1)由上述不等式,归纳出一个与正整数n(n2)有关的一般性结论;(2)用数学归纳法证明你得到的结论.解(1)观察上述各不等式,得到与正整数n(n2)有关的一般不等式为1+122+132+142+1n22n-1n(nN+,且n2).(2)以下用数学归纳法证明这个不等式.当n=2时,由题设可知,不等式显然成立.假设当n=k(k2,kN+)时,不等式成立,即1+122+132+142+1k22k-1k,则当n=k+1时,有1+122+132+142+1k2+1(k+1)22k-1k+1(k+1)22k-1k+1k(k+1)=2-1k+1k-1k+1=2-1k+1=2(k+1)-1k+1.所以当n=k+1时,不等式也成立.根据和,可知不等式对任何nN+且n2都成立.