1、模块复习课第3课时复数的概念与运算课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z=,则() A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为-1D.z的共轭复数为1+i解析z=-1-i,因此|z|=,z的实部为-1,虚部为-1,共轭复数为-1+i,故选C.答案C2.已知i是虚数单位,复数z满足z(1+i)=3+i,则复数z在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由z(1+i)=3+i,得z=2-i,复数z在复平面内所对应的点的坐标为(2,-1),位于第四象限.故选D.答案D3.设i是虚数单位:则2i+3i2+4i3+2 021i2 020的值为()A.1 011-1 0
2、10iB.1 010-1 010iC.1 010-1 012iD.-1 011-1 010i解析设S=2i+3i2+4i3+2 021i2 020,两端同乘以i,得iS=2i2+3i3+2 020i2 020+2 021i2 021,相减,得(1-i)S=2i+i2+i3+i4+i2 020-2 021i2 021,(1-i)S=i+i+i2+i3+i4+i2 020-2 021i2 021=i+-2 021i2 021,可得(1-i)S=i+-2 021i=i-2 021i=-2 020i,则S=-1 010i(1+i)=1 010-1 010i,故选B.答案B4.若关于x的方程x2+(1+
3、2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于()A.B.iC.-D.-i解析设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)a+3m+i=0,所以所以答案A5.已知z是复数,且p:z=i;q:z+R,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当z=i时,z+i+i+=1R,但当z+R时,若令z=a+bi(a,bR),则a+bi+=a+b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件.答案A6.已知复数z=(aR,i为虚数单位),若z为实数,则a=;若z为纯虚数,则a=.解析z=i,若z为实数,则有-=0,解得a
4、=-16,若z为纯虚数,则有解得a=9.答案-1697.如果复数1,a+i,3+a2i(aR)成等比数列,那么a的值为.解析由题意知(a+i)2=1(3+a2i),即a2-1+2ai=3+a2i,所以解得a=2.答案28.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是.解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1.答案19.已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.解设z=a+bi(a,bR),|z|=1+3i-z,-1-3i+a+bi=0,即解得z=-4+3i,
5、=3+4i.10.已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,求满足下列条件的实数m的值或取值范围.(1)复数z与复数2-12i相等;(2)复数z与复数12+16i互为共轭复数;(3)复数z在复平面内对应的点在实轴上方.解(1)根据复数相等的充要条件,得解得m=-1.(2)根据共轭复数的定义,得解得m=1.(3)由题意,知m2-2m-150,解得m5,故实数m的取值范围为(-,-3)(5,+).能力提升1.已知i为虚数单位,则复数z=等于()A.-iB.iC.iD.-i解析z=+1-i=i,故选C.答案C2.已知复数z=-3+2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2+px+q=0(
6、p,q为实数)的一个根,则p+q的值为()A.22B.36C.38D.42解析因为z=-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以有2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,即2(9-4-12i)-3p+2pi+q=0,得10-24i-3p+2pi+q=0,得10+q-3p+(2p-24)i=0.由复数相等得解得所以p+q=38.答案C3.已知纯虚数z满足(1+i)z=2m+i,其中i是虚数单位,则实数m的值等于.解析由(1+i)z=2m+i得z=,因为z为纯虚数,所以故m=-.答案-4.对于非零实数a,b,以下四个命题都成立:a+0;(a+b)2=a2+2ab+b2;若|a
7、|=|b|,则a=b;若a2=ab,则a=b.那么,对于非零复数a,b,仍然成立的命题的所有序号是.解析对于命题,当a=i时,a+=0,故命题错误;对于命题,当a=3+4i,b=3-4i,则|a|=|b|,故命题错误;命题,对于非零复数a,b仍然成立.答案5.设复数z1=(a2-4sin2)+(1+2cos )i,aR,(0,),z2在复平面内对应的点在第一象限,且=-3+4i.(1)求z2及|z2|;(2)若z1=z2,求与a的值.解(1)设z2=m+ni(m,nR),则=(m+ni)2=m2-n2+2mni=-3+4i,即解得又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,故z2=1+2i,|z2
8、|=.(2)由(1)知(a2-4sin2)+(1+2cos )i=1+2i,即解得cos =,因为(0,),所以=,所以a2=1+4sin2=1+4=4,a=2.综上,=,a=2.6.已知复数z1=2+i,2z2=.(1)求z2;(2)若ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且u=cos A+2icos2,求|u+z2|的取值范围.解(1)因为z1=2+i,2z2=,所以z2=-i.(2)在ABC中,因为A,B,C成等差数列,所以B=60,A+C=120.因为u+z2=cos A+2icos2-i=cos A+icos C,所以|u+z2|2=cos2A+cos2C=1+(cos 2A+cos
9、 2C)=1+(cos2A-sin2A+cos2C-sin2C)=1+cos2A(cos2C+sin2C)+cos2C(cos2A+sin2A)-sin2A(cos2C+sin2C)-sin2C(cos2A+sin2A)=1+(2cos2Acos2C-2sin2Asin2C)=1+(cos Acos C+sin Asin C)(cos Acos C-sin Asin C)=1+cos(A+C)cos(A-C)=1+cos 120cos(A-C)=1-cos(A-C).因为A+C=120,所以A-C=120-2C,所以A-C(-120,120),所以cos(A-C),所以|u+z2|的取值范围为.- 4 -