1、课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一
2、种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程：一、复习引入： 21842146-2-141231特殊的对应构成映射，特殊的映射得到函数，映射与函数的联系与区别，函数的三要素。2特殊的映射：一一映射 对于这两个对应，它们是不是映射？是不是一一映射？是不是函数？ 那么这两个映射能不能构成到的映射吗？如果能（显然，只有一一映射才能），那么到的映射所确定的函
3、数与原函数又有何关系呢？3、引例：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt,其中速度v是常量,定义域t 0,值域s 0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数,定义域s 0,值域t 0.又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域yR. 我们从函数中解出x，就可以得到式子. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在R中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是yR，值域是xR.综合上述，我们由函数s=vt得出了函数；由函数得出了函数，不难
4、看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：它们的对应法则是互逆的；它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样记为，则它的反函数为：.探讨1：
5、所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，,有反函数是探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：函数反函数定义域AC值 域CA探讨3：的反函数是？若函数有反函数，那么函数的反函数就是，这就是说，函数与互为反函数说明：（1）为了符合习惯，我们常常对调函数中的字母，把它改写成； （2）符号的含义有二：其一表明是
6、原函数的反函数；其二表明是反函数的对应法则；（3）对于任意一个函数，它的反函数不一定存在。如：在函数中，因为对于都有两个值与它对应，所以不能构成的映射，更不能成函数。我们就说在函数没有反函数。按照映射的观点，如果这个映射是一一映射，那么这个映射所表示的函数存在反函数；如果表示一个映射的函数不是一一映射，其反函数不存在。三、讲解例题：例1求下列函数的反函数：； ； .解：由解得函数的反函数是，由解得x=,函数的反函数是由y=+1解得x=, x0，y1. 函数的反函数是x= (x1);由解得 xcxR|x1，yyR|y2函数的反函数是小结：1、求函数的反函数的一般步骤是：（1）反解，由解出，写出的
7、取值范围；（3）互换，得；（4）写出完整结论（一定要有反函数的定义域）。一解、二换、三注明2、反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到3、求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2求函数（）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由解得函数的反函数是，它们的图像为：例3求函数 （-1x0）的反函数解： -1x0 01 01 - 1 0 1 0 y 1由： 解得： ( -1 x 0 )(-1x 0)的反函数是：(0x1 )例4 已知= -2x(x2),求.解法1：令y=-2x，解此关于x的方程得，x2，即x=1+-, x2，由式知1，
8、y0-,由得=1+（x0，xR）；解法2：令y=-2x=-1，=1+y，x2，x-11，x-1=-,即x=1+, x2，由式知1，y0,函数= -2x(x2)的反函数是=1+（x0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数，求它的反函数 （1） （xR） （2） (xR，且x0)（3） （x0） （4） (xR，且x) 五课后练习： 判断下列函数是否有反函数。如有反函数，则求出它的反函数。（1）；（2）。解：（1）令得到对应的两根：这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数。（2）由，得， ，互换得又由的值域可得反函数定义域为所以，反函数为