1、系列丛书 进入首页第三章 三角函数、解三角形第三章 三角函数、解三角形第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要
2、求记忆)第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）主干知识整合 01 课前热身稳固根基第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1基本公式sin()_，cos()_，tan()_.2公式变形(1)tantan_.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)函数 f()asinbcos(a，b 为常数)，可以化为 f()a2b2 sin()其中tanba 或f()a2b2 cos()其中tanab.答案1sincoscossin coscossinsintantan1tantan2(1
3、)tan()(1tantan)第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）1sin75的值为_解析：sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin3022 32 22 12 6 24.答案：6 24第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）2已知 cos35，2，则 sin3 的值是_.解析：cos35，2，sin45，sin3 sincos3cossin3451235 32 43 310.答案：43 310第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）3tan20tan40 3tan20tan40_.解析：tan6
4、0tan(2040)tan20tan401tan20tan40，tan20tan40tan60(1tan20tan40)3 3tan20tan40，原式 3 3tan20tan40 3tan20tan40 3.答案：3第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）知识点二二倍角的正弦、余弦、正切公式1基本公式sin2_.cos2_.tan2_.2有关公式的逆用、变形等(1)cos2_，sin2_.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)1sin2(sincos)2，1sin2(sincos)2，sincos 2sin4.答案12sincos co
5、s2sin2 2cos2112sin2 2tan1tan22(1)1cos22 1cos22第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）4计算：tan7.51tan27.5_.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：tan7.51tan27.512 2tan7.51tan27.512tan1512tan(4530)12 tan45tan301tan45tan30121 331 332 32.答案：2 32第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）5(2016浙江卷)已知 2cos2xsin2xAsin(x)b(A0)，则
6、A_，b_.解析：由于 2cos2xsin2x1cos2xsin2x 2sin(2x4)1，所以 A 2，b1.答案：2 1第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点命题突破 02 课堂升华强技提能第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点一 三角公式的正用与逆用【例 1】(1)化简：1sincossin2cos222cos(0)；(2)求值：sin50(1 3tan10)第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)由(0，)，得 020，22cos4cos222cos2.又(1sincos)sin2cos22
7、sin2cos22cos22 sin2cos22cos2sin22cos22 2cos2cos.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）故原式2cos2cos2cos2cos.(2)sin50(1 3tan10)sin50(1tan60tan10)sin50cos60cos10sin60sin10cos60cos10sin50cos6010cos60cos10 2sin50cos50cos10sin100cos10 cos10cos101.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】三角函数式的化简常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系
8、，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)求sin7cos15sin8cos7sin15sin8的值；(2)求 tan204sin20的值解：(1)原式sin158cos15sin8cos158sin15sin8sin15cos8cos15cos8tan15tan(4530)tan45tan301tan45tan301 331 33 31312 3.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)原式sin20
9、cos204sin20sin204sin20cos20cos20sin202sin40cos20sin30102sin3010cos2032cos10 32 sin10cos20 332 cos1012sin10cos20 3cos3010cos20 3.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点二三角函数式求值考向 1 给值求值【例 2】已知，均为锐角，且 sin35，tan()13.(1)求 sin()的值；(2)求 cos 的值【解】(1)，0，2，从而22.又tan()130，20，00，022，tan(2)tan2tan1tan2tan3417134171.
10、tan170，2，20，234.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】三角函数求值的 3 类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角
11、.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(1)(2016新课标全国卷)若 cos4 35，则 sin2()A.725B.15C15D 725(2)已知 cos1213，cos()17 226，且，32，32，2，求 的值第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解析：(1)因为 cos4 cos4cossin4sin 22(sincos)35，所以 sincos3 25，所以 1sin21825，所以 sin2725，故选 D.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)解：32，32 2，0.又 cos1213，cos
12、()17 226，sin 513，sin()7 226.coscos()17 226 1213 7 226 513 22，且 0，所以 34.答案：(1)D第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）热点三三角恒等变换的综合应用【例 4】(2016天津卷)已知函数f(x)4tanxsin2x cosx3 3.()求 f(x)的定义域与最小正周期；()讨论 f(x)在区间4，4 上的单调性第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】()f(x)的定义域为x|x2k，kZf(x)4tanxcosxcosx3 34sinxcosx3 34sinx12co
13、sx 32 sinx 32sinxcosx2 3sin2x 3sin2x 3(1cos2x)3sin2x 3cos2x2sin2x3.所以，f(x)的最小正周期 T22.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）()令 z 2x 3，函 数 y 2sinz 的 单 调 递 增 区 间 是22k，22k，kZ.由22k2x322k，得 12kx512k，kZ.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）设 A4，4，Bx|12kx512k，kZ，易知AB 12，4所以，当 x4，4时，f(x)在区间 12，4上单调递增，在区间4，12上单调递减.第三章第
14、三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【总结反思】三角恒等变形的综合应用主要是将三角恒等变形与三角函数的性质相结合，通过变形，将复杂的函数式子化为 yAsin(x)b 的形式再研究性质在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）已知函数 f(x)2cos2x12 3sinxcosx(01)，直线 x3是函数 f(x)的图象的一条对称轴(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向左平移23 个单位长度得到的，若g23 65，0
15、，2，求 sin 的值第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）解：(1)f(x)cos2x 3sin2x2sin2x6，由于直线 x 3 是 函 数 f(x)2sin 2x6 的 图 象 的 一 条 对 称 轴，所 以sin23 6 1.因此23 6k2(kZ)，解得 32k12(kZ)，又 01，所以 12，所以 f(x)2sinx6.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）由 2k2x62k2(kZ)，得 2k23 x2k3(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为2k23，2k3(kZ)(2)由题意可得 g(x)2sin12x23 6，即
16、 g(x)2cosx2，由 g23 2cos1223 2cos6 65，得 cos6 35，第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）又 0，2，故6623，所以 sin6 45，所以 sinsin6 6sin6 cos6cos6 sin645 32 35124 3310.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”，即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效其中蕴含了一个
17、变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）温示提馨请 做：课时作业 20（点击进入）第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基
18、本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）策略 1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半【例 1】已知 为锐角，且 cos6 35，则 sin_.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解析】解法 1：cos6 32 cos12sin35，又 sin2cos21，由可得 cos213sin652，代入并整理得 100sin260sin390，解得 sin4 3310，或 sin4 3310(舍)第三章第三节系列丛书 进入首页
19、高三总复习 新课标版 数学（文）解法 2：因为 为锐角，即 0，2，所以 66，23，则 sin6 1cos26 45，所以 sinsin6 6sin6 cos6cos6 sin64 3310.【答案】4 3310第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【点评】不少同学习惯用解法 1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法 2 抓住了 6 6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）策略 2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为
20、正弦(余弦)【例 2】求1cos202sin20 sin101tan5tan5.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】因为1tan5tan5cos5sin5sin5cos5cos25sin25sin5cos52cos10sin10，所以原式2cos2104sin10cos10sin102cos10sin10 cos102sin10sin20sin10 cos102sin10sin3010sin10 cos102sin10cos10 3sin102sin10 3sin102sin10 32.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）策略 3
21、从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一【例 3】(1)已知 3sinsin(2)，k2，k2(kZ)求证：tan()2tan；(2)已知 cosxcosy12，求 sinxsiny 的取值范围第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【解】(1)证明：由 3sinsin(2)得 3sin()sin()，即 3sin()cos3cos()sinsin()coscos()sin，整理可得 sin()cos2cos()sin.因为 k2，k2(kZ)，所以 cos()cos0，则有 tan
22、()2tan.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）(2)设 psinxsiny，则 cos(xy)cosxcosysinxsiny12p，cos(xy)cosxcosysinxsiny12p.因为|cos(xy)|1，所以112p1，且112p1，解得12p12.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【点评】题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学
23、（文）策略 4“先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【例 4】已知 0 x4，sin4x 513，求cos2xcos4x的值【解】解法 1(先化简后求值)：原式 cos2xsin2x22 cosxsinx 2(cosxsinx)2cos4x，0 x4，04x4，第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新
24、课标版 数学（文）则原式21sin24x 2413.解法 2(先局部后整体)：cos4x cos24x sin4x 513.下面从两个角度求 cos2x：角度 1：cos2xsin22x sin24x2sin4x cos4x；第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）角度 2：cos2xcos2xsin2x(cosxsinx)(cosxsinx)2sin4x 2cos4x 2sin4x cos4x.0 x4，04x4，则 cos4x 1sin24x 1213，故 cos2x2 5131213120169.所以 cos2xcos4x120169 5132413.第三章第三节系列丛书 进入首页 高三总复习 新课标版 数学（文）【点评】采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.