1、课后导练基础达标1.若四边形满足+=0，=0，则该四边形是（ ）A.菱形 B.直角梯形 C.矩形 D.正方形解析：由+=0，得=，则ABDC，且AB=DC.又=0.所以四边形ABCD为矩形.答案：C2.在ABC中有下列命题，其中正确的是（ ）-= +=0 若(+)(-)=0，则ABC为等腰三角形 若0，则ABC为锐角三角形A. B. C. D.解析：因-=，故错误，去掉A、B选项，在C、D选项中只要验证是否正确，当0,有A为锐角，但不能保证B与C是否为锐角.故错误，选C.答案：C3.已知正方形ABCD的边长为1.设=a，=b, =c，则|a+b+c|等于（ ）A.0 B.3 C.2+ D.2解
2、析：|a+b+c|=2|,|=.所以|a+b+c|=2.答案：D4.已知点A（x,5）关于点P（1,y）的对称点是B（-2，-3），则点(x,y)到原点的距离是（ ）A. B. C.4 D.解析：从而x=4,y=1.再由两点间距离得.答案：D5.设点G是ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则等于（ ）A.6 B.-6 C.-6 D.0解析：取和为一组基底，取的中点M可得平行四边形GDME.于是=2=2（+）.而=-2.=-2.可得+=0.答案：D6.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重量为10 N，则每根绳子的拉力大小是_.解析：因绳子等长，所以每根绳
3、子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60，故每根绳子的拉力都是10 N.答案：10 N7.已知向量a表示“向东航行3千米”，b表示“向南航行3千米”，则a+b表示_.答案：向东南航行千米8.已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6）.求AC与OB的交点P的坐标.解：设P点坐标为P（x,y），则=（x,y）.而=（4，4）.与共线，4x-4y=0又=（x-4,y）, =(2-4,6-0)=(-2,6),且与共线，6(x-4)-(-2)y=0,即3x+y=12由解得故P点的坐标是（3，3）.9.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：=(+).证明：E、F分别为、BC
4、的中点，+=+=0.又=+=+得2=+.=(+).10.如图两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆子AB上，ACW=150，BCW=120，求A和B处所受力的大小.解：设A、B所受的力分别为f1、f2.f表示10 kg的重力.则f1+f2=f.以重力的作用点C为f1,f2,f的始点.使=f1,=f2,=f，则ECG=180-150=30,FCG=180-120=60.|=|cos30=10.|=|cos60=10=5.所以A处所受的力为kg，B处所受的力为5 kg.综合运用11.已知一物体在共点力F1=（lg2,lg2），F2=（lg5,lg2）的作用下产生位移s=(2lg5,1)，则共点力
5、对物体做的功W为（ ）A.lg2 B.lg5 C.1 D.2解析：合力F1+F2=(lg2,lg2)+(lg5,lg2)=(1,lg4).W=Fs=(1,lg4)(2lg5,1)=lg25+lg4=2.答案：D12.已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2）、B（4，1）、C（0，-1），则ABC的形状为（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.A、B、C均不正确解析：=（3，-1），=（-1，-3），|=|=.ABC是等腰三角形.又=3(-1)+(-1)(-3)=0,即A=90.ABC是等腰直角三角形.答案：C13.已知ABC三边BC、CA、AB的中点分别为
6、D（1，2），E（3，4），F（5，6），则顶点A的坐标是_.解析：设A（x,y）.F为AB中点，B点坐标为B（10-x,12-y）.又E(3,4)是AC的中点，所以C（6-x,8-y）.由D是BC的中点得答案：（7，8）14.已知A、B、C三点的坐标分别为A（2，-2）、B（5，1）、C（1，4），则BAC的余弦值是_.解析：由已知得=（3，3），=（-1，6）.于是cosBAC=.答案：15.已知A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.（1）求证：；（2）若四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值.（1）证明：A(2,1),B(3,2),D(-1,4
7、),=(1,1),=(-3,3),又=1(-3)+13=0,.(2)解：四边形ABCD为矩形且，=.设点C的坐标为（x,y）,则（-3，3）=（x-3,y-2）,点C坐标为（0，5）又=(-2,4), =(-4,2),=（-2）(-4)+42=16,而|=，|=.设与的夹角为，则cos=.该矩形两对角线所成锐角的余弦值为.拓展探究16.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A（1，0）、B（4，3）、C（2，4）、D（m,n）.当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形？（A、B、C、D依逆时针方向排列）解：由条件知，=（3，3），BC=（-2，1），=（m-
8、1,n）,=(2-m,4-n),（1）若四边形ABCD为平行四边形，则=，(3,3)=(2-m,4-n),3=2-m,且3=4-n.解得m=-1,n=1.m=-1,n=1时，四边形ABCD为平行四边形.（2）当m=-1，n=1时， =（3，3），=（-2，1）则|=，|=，|.因此，四边形ABCD不可能为菱形.（3）当m=-1,n=1时，=（3，3）（-2，1）=-30，即、不垂直，因此使四边形ABCD为矩形的m,n不存在.（4）由（2）（3）知，使ABCD为正方形的m,n不存在.（5）若ABCD为梯形，则=AB或=，其中为实数，且0,1.所以，或(0且1)整理得m、n的取值条件为n=m+2(m2,且m-1)或n=-(m1,且m-1).