1、第6讲 正弦定理和余弦定理一、选择题1在ABC中，C60，AB，BC，那么A等于()A135 B105 C45 D75解析由正弦定理知，即，所以sin A，又由题知，BCAB，A45.答案C2已知a，b，c是ABC三边之长，若满足等式(abc)(abc)ab，则角C的大小为()A60 B90 C120 D150解析由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos C，cos C，C120.答案C3在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC ()A. B. C. D2解析A，B，C成等差数列，AC
2、2B，B60.又a1，b，sin A，A30，C90.SABC1.答案C4在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于 ()A. B. C. D.解析设ABc，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2c2BC22BCccos 60，即7c244ccos 60，即c22c30，c3(负值舍去)又hcsin 603，故选B.答案B5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a，b(0)，A45，则满足此条件的三角形个数是()A0 B1C2 D无数个解析 直接根据正弦定理可得，可得sin B1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案 A6已知ABC的面积为，AC，ABC，则ABC
3、的周长等于 ()A3 B3C2 D.解析由余弦定理得b2a2c22accos B，即a2c2ac3.又ABC的面积为acsin ，即ac2，所以a2c22ac9，所以ac3，即acb3，故选A.答案A二、填空题7如图，ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，则AD的长度等于_解析在ABC中，ABAC2，BC2，cos C，sin C；在ADC中，由正弦定理得，AD.答案8已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_解析依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：.答案9在RtABC中，C90，且A，B，C所对的边a，b，
4、c满足abcx，则实数x的取值范围是_解析xsin Acos Asin.又A，A，sin1，即x(1，答案(1，10若AB2，ACBC，则SABC的最大值_解析(数形结合法)因为AB2(定长)，可以令AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由ACBC，得 ，化简得(x3)2y28，即C在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，所以SABC|AB|yC|yC|2，故答案为2.答案2三、解答题11叙述并证明余弦定理解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的
5、对边，有a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C，法一如图(1)，图(1)a2()()22222|cos A2b22bccos Ac2，即a2b2c22bccos A.同理可证b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.法二图(2)已知ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图(2)则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A)2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2Ab2c22bccos A.同理可证b2c2a22ca
6、cos B，c2a2b22abcos C.12在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a ，求ABC的面积解(1)因为0A，cos A，得sin A .又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C.所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a 及正弦定理，得c .设ABC的面积为S，则Sacsin B.13 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin Asin B)ysin Bcsi
7、n C上(1)求角C的值；(2)若a2b26(ab)18，求ABC的面积解(1)由题意得a(sin Asin B)bsin Bcsin C，由正弦定理，得a(ab)b2c2，即a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，结合0C，得C.(2)由a2b26(ab)18，得(a3)2(b3)20，从而得ab3，所以ABC的面积S32sin .14 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a ，求ABC的面积(1)证明由bsincsina应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0B，C，从而BC.(2)解BCA，因此B，C.由a ，A，得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面积Sbcsin A sinsin cossin.