1、第三课空间向量与立体几何核心速填1几个重要的概念(1)零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量(2)单位向量：模为1的向量叫做单位向量(3)相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量(4)相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量(5)共线向量：空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量(6)共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量2空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数x，使axb.(2)共线向量定理的推论：若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是，且1.(3)共面向量定理：如果两个向量a
2、，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使cxayb.(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则P，A，B，C四点共面的充要条件xyz(其中xyz1)(5)空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.3空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要结论ababa1b1，a2b2，a
3、3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.4模、夹角和距离公式(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|；cosa，b.(2)设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.5空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lau
4、au0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.6空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角满足cos |cosm1，m2|.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面的夹角满足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小(i)如图31，AB，CD是二面角l的两个半平面，内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，图31()如图31，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos cosn1，n2或cosn1，n27用空间向量解决立体几何问题的一般步骤(1)适当地选取基底a，b，c(或建立
5、空间直角坐标系)(2)用a，b，c表示相关向量(或求出有关向量的坐标)(3)通过运算完成证明或计算问题体系构建题型探究空间向量及其运算(1)在空间四边形OABC中，其对角线为OB，AC，M是OA的中点，G为ABC的重心，用基向量，表示向量.(2)已知三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)求以，为边的平行四边形的面积若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标. 【导学号：33242327】解(1)如图，连接AG并延长交BC于点D.D为BC的中点，()G为ABC的重心，()，又，()(2)M为OA的中点，.(2).(2)由题意，可得(2，1,3)，(1，3,2)，所以cos，所以
6、sin，所以以，为边的平行四边形的面积为S2|sin，147.设a(x，y，z)，由题意，得，解得或.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(1，1，1)规律方法(1)向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.(2)熟记空间向量的坐标运算公式,设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，加减运算：ab(x1x2，y1y2，z1z2).数量积运算：abx1x2y1y2z1z2.向量夹角：cosa，byz.向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，则|.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式
7、子进行化简再运算.跟踪训练1已知a(5,3,1)，b，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由已知ab5(2)3t13t.因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，即3t0，所以t.若a与b的夹角为180，则存在0，使ab，即(5,3,1)，所以所以t，故t的范围是.利用空间向量证明平行、垂直问题四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD；(2)平面PBC平面FCD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设DCa，PDb，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,
8、0，b)，E.(1)，(a，a,0)设平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n，因为n(a,0，b)0，所以n，故PC平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为(0，a,0)，又(a，a，b)，(a,0，b)，设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m，因为m(0，a,0)0，所以m，即平面PBC平面PCD.规律方法(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向
9、向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2如图32所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D.图32(1)求证：A1C平面AMN.(2)当AB2，AD2，A1A3时，问在线段AA1上是否存在一点P
10、使得C1P平面AMN，若存在，试确定P的位置解(1)因为CB平面AA1B1B，AM平面AA1B1B，所以CBAM，又因为AMA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可证A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN.(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB2，AD2，A1A3，所以C(0,0,0)，A(2,2,0)，A1(2,2,3)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，C1(0,0,3)，因为M，N分别在BB1，DD1上，所以设N(2,0，z)，M(0,2，y)，则(2,0，y)，(0，2，z)，(2
11、,0，3)，(0，2，3)，因为AMA1B，ANA1D，所以解得所以，由(1)知A1C平面AMN.设平面AMN的法向量n(x，y，z)，则取z3，得n(2,2,3)，设线段AA1上存在一点P(2,2，t)，使得C1P平面AMN，则(2,2，t3)，因为C1P平面AMN，所以n443t90，解得t.所以P，所以线段AA1上存在一点P，使得C1P平面AMN.利用空间向量求角如图33所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADDC，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M为PC的中点，PAPD2，BCAD1，CD.图33(1)求证：PQAB；(2)求二面角PQBM的余弦值.
12、【导学号：33242328】解(1)在PAD中，PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCDAD，所以PQ底面ABCD.又AB平面ABCD，所以PQAB.(2)在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形因为ADDC，所以ADQB.由(1)，可知PQ平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，C(1，0)，B(0，0)，(0，0)因为AQPQ，AQBQ，所以AQ平面PQB，即为平面PQB的一个法向量，且(1,0,0)因为M是棱
13、PC的中点，所以点M的坐标为，所以.设平面MQB的法向量为m(x，y，z)，则，即，令z1，得x，y0，所以m(，0,1)，所以cos，m.由题意，知二面角PQBM为锐角，所以二面角PQBM的余弦值为.规律方法用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2
14、所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角跟踪训练3正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由(2)求二面角EDFC的余弦值(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)、B(2,0,0)，C(0,2
15、，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)，设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，则t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.数学思想在向量中的应用如图34所示，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点图34(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD
16、所成角的大小解作APCD于点P，分别以AB，AP，AO所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.(1)证明：，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令z，得n(0,4，)n04(1)0，n.又MN平面OCD，MN平面OCD.(2)设异面直线AB与MD所成的角为.(1,0,0)，cos，.与所成的角为.故异面直线AB与MD所成的角.规律方法空间向量的具体应用主要体现为两种方法向量法和坐标法.这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空
17、间向量之间的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归到几何结论.这样就把立体几何问题转化为为空间向量来研究，体现了化归与转化思想.跟踪训练4在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，如图35所示，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD.(1)求证：CDAB.(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离(3)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由图35解(1)证明：在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABBC，所以ADAB，BD2，DBCADB45，CD2，所以BD2CD2B
18、C2，所以CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，所以CDAB.(2)由(1)知CDBD.以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，过点D作垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，由已知得A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0，0)，M(1,1,0)，所以(0，2,0)，(1,0，1)，(1,1,0)设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即令x1，得z1，y0，则平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，所以点M到平面ACD的距离为d.(3)假设在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60.设(01)，N(a，b,0)，则(a2，b,0)(2,2,0)，所以N(22，2，0)，(12，2，1)又平面ACD的一个法向量为n(1,0，1)，且直线AN与平面ACD所成的角为60，所以sin 60，即，可得82210，解得或(舍去)综上所述，在线段BC上存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60，此时.