1、模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设命题p:对xR+,exln x,则p为()A.x0R+,ex0ln x0B.xR+,ex0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8解析y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.答案D3.曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0解析当x=
2、时,y=2sin+cos=-1,即点(,-1)在曲线y=2sinx+cosx上.y=2cosx-sinx,y|x=2cos-sin=-2.曲线y=2sinx+cosx在点(,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-),即2x+y-2+1=0.故选C.答案C4.已知命题p:若=150,则sin =12,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析原命题为真,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个真命题.答案B5.ab+1是2a2b的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若ab+1,则2a2b+
3、12b,故充分性成立;若2a2b,若a=2,b=1,则a=b+1,故必要性不成立.故ab+1是2a2b的充分不必要条件.故选A.答案A6.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40B.2cos 40C.1sin50D.1cos50解析由已知可得-ba=tan130=-tan50,则e=ca=1+ba2=1+tan250=1+sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50.故选D.答案D7.已知函数f(x)=x+bln x在区间(0,2)内不是单调函数,则b的取值范围是()A.(-,0)B.(-
4、,-2)C.(-2,0)D.(-2,+)解析f(x)=1+bx=x+bx,g(x)=x+b(x0)是增函数,故需g(0)=b0,b-2,所以b(-2,0).答案C8.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x2-y2=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=()A.2B.4C.23D.43解析抛物线x2=2py(p0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,与双曲线x2-y2=1的交点为A-p2,p2-42,B-p2,-p2-42,又若ABF为等边三角形,所以kAF=p2-42-0-p2-p2=-p2-42p=-33,解得p=23.答案C9.已知命题p:若函数f(x)在(
5、a,b)上存在零点,则f(a)f(b)0;命题q:若g(x0)=0,则g(x)在x0处取得极值,则下列为真命题的是()A.pqB.pqC.(p)qD.p(q)解析若函数f(x)在(a,b)上存在零点,则不一定有f(a)f(b)0,故命题p为假;若g(x0)=0,则g(x)不一定在x0处取得极值,例如函数g(x)=x3在x=0处有g(0)=0,但g(x)=x3无极值,故命题q为假,因此p(q)为真命题.答案D10.已知直线y=a与函数f(x)=13x3-x2-3x+1的图象相切,则实数a的值为()A.-26或83B.-1或3C.8或-8
6、3D.-8或83解析f(x)=x2-2x-3,令f(x)=x2-2x-3=0,x=-1,x=3,则f(-1)=83,f(3)=-8,即函数的极值是-8和83,故实数a的值为-8或83.答案D11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点和上顶点分别为A,B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1PF2,则椭圆的离心率的平方为()A.32B.3-12C.53D.5-12解析由题设可知以F1F2为直径的圆与直线AB相切,而直线的方程为x-a+yb=1,即bx-ay+ab=0,故圆心O(0,0)到直线bx-ay+ab=0的距离d=aba2+b2=abc=c,即ab
7、=c2,也即a2(a2-c2)=c4,所以e4+e2=1,解之得e2=5-12,故应选D.答案D12.若关于x的不等式ln2x+1xax+b成立,则ba的最小值是()A.-12eB.-1eC.1eD.12e解析令f(x)=ln2x+1x,f(x)=1xx-ln2xx2=1-ln2xx2,x0,12,f(x)0,函数单调递增,x12,+,f(x)0时,f(x)0,绘制函数f(x)的图象如图所示,满足题意时,直线y=ax+b恒不在函数f(x)图象的下方,很明显a0时,令ax+b=0可得ba=-x,故ba取到最小值时,直线在x轴的截距最大,令f(x)=0可得x=12e,-x=-12e,据此可得ba的
8、最小值是-12e.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线y=ln x-2x在x=1处的切线的倾斜角为,则sin+2=.解析y=1x+2x2,y|x=1=3,则tan=300)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线的交点为E,则|EF|=.解析由焦点为F(2,0)可得p=4,E(x,2)在准线上的射影为G(-2,2),22=8x,x=12,即|EF|=|EG|=12-(-2)=52.答案5215.设p:xx-20,q:0xm,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.解析由不等式xx-20可得0x2,因为p是q成立的充分不必要条件
9、,所以集合x|0x2是集合x|0x2.答案(2,+)16.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P使sinPF2F1sinPF1F2=e,则F2PF2F1的值为.解析由双曲线方程x2-y23=1得a=1,c=2,由双曲线定义得|PF2|-|PF1|=2,因为sinPF2F1sinPF1F2=e,所以由正弦定理得|PF1|PF2|=2,可解得|PF1|=4,|PF2|=2,由题易知|F1F2|=4,根据余弦定理可知cosPF2F1=14,F2PF2F1=|PF1|PF2|cosPF2F1=4214=2.答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分
10、)17.(本小题满分10分)已知p:方程x22+y2m=1表示焦点在y轴上的椭圆,q:函数f(x)=43x3-2mx2+(4m-3)x-m在(-,+)上单调递增,若“pq”为假,“pq”为真,求实数m的取值范围.解对于p,由条件可得m2.对于q,由f(x)=4x2-4mx+(4m-3)0对xR恒成立,得=(-4m)2-16(4m-3)0,解得1m3.由“pq”为假,“pq”为真,得p与q一真一假.若p真q假,则m2,m3,解得m3.若p假q真,则m2,1m3,解得1m2.综上可得,m的取值范围是m|1m2或m3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(x2+ax+1)图象在点(2,f
11、(2)处的切线与x轴平行.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的极值.解(1)f(x)=ex(x2+ax+1+2x+a)=exx2+(a+2)x+a+1.因为曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线与x轴平行,所以f(2)=0,即f(2)=e24+2(a+2)+a+1=0,解得a=-3.(2)由(1)得f(x)=ex(x2-x-2)=ex(x-2)(x+1),令f(x)=0,则x=2或x=-1.x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x=-1时,函数有极大值是5e,当x=2时,函数有极小值是-e2.19.(本小题满分12分
12、)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=
13、0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4133.20.(本小题满分12分)某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0x9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?解(1)依题意,设m=kx2,由已知得5=k12,从而k=5,所以m=5x2.于是y=(14-x-5)(75+5x2)=-5x3+45x2-75x+
14、675(0x0得1x5;由y0得0x1或5xb0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2
15、,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,得4-5k2-10k-k2=-1,化简得k2=245,从而k=2305.所以,直线PB的斜率为2305或-2305.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mln x+(4-2m)x+1x(mR).(1)当m4时,求函数f(x)的单调区间;(2)设t,s1,3,不等式|f(t)-f(s)|4时,由f
16、(x)0,得-12-mx12;由f(x)0,得0x12.所以函数f(x)的单调递增区间为-12-m,12,单调递减区间为0,-12-m,12,+.综上所述,当m=4时,f(x)在定义域(0,+)内单调递减;当m4时,f(x)的单调递增区间为-12-m,12,单调递减区间为0,-12-m,12,+.(2)由(1)知,当m(4,6)时,函数f(x)在区间1,3内单调递减,所以当x1,3时,f(x)max=f(1)=5-2m,f(x)min=f(3)=mln3+13+12-6m.问题等价于对任意的m(4,6),恒有(a+ln3)(2-m)-2ln35-2m-mln3-13-12+6m成立,即(2-m)a23-4(2-m).因为m2,则a23(2-m)-4,所以a23(2-m)-4min,设m4,6),则当m=4时,23(2-m)-4取得最小值-133,所以,实数a的取值范围是-,-133.
