1、（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题1.以下四个命题中正确的是（ ）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若a，b，c为空间向量的一组基底，则ab，bc，ca构成空间向量的另一组基底C.ABC为直角三角形的充要条件是ABAC0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底【解析】若ab、bc、ca为共面向量，则ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同时为1，设1，则a11b1c，则a、b、c为共面向量，此与a，b，c为空间向量基底矛盾.【答案】B2.空间四点A(2,3,6)、B(4,3,2)、C(0,0,1)、D(2,0,2)的位置关系是（ ）
2、A.共线 B.共面 C.不共面 D.无法确定【解析】AB(2,0，4)，AC(2，3，5)，AD(0，3，4).假设四点共面，由共面向量定理得，存在实数x，y，使ADxAByAC，即2x2y0，3y3，4x5y4，由得xy1，代入式不成立，矛盾.假设不成立，故四点不共面.【答案】C3. 如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC3，则cosOA，BC的值为（）A.0 B.12 C.32 D.22【解析】设OAa，OBb，OCc，则|b|c|，a，ba，c3，BCcb，OABCa(cb)acab|a|c|cos 3|a|b|cos 30，OABC，cosOA，BC0.【答案】A4
3、.如图，点P是单位正方体ABCD-中异于A的一个顶点，则的值为（ ）A0B1C0或1D任意实数【解析】 可为下列7个向量：,其中一个与重合，,与垂直，这时,与的夹角为45，这时，最后，故选C.【答案】 C5有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；O，A，B，C为空间四点，且向量O，O，O不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量ab，ab，c也是空间的一个基底其中正确的命题是()A BC D【解析】对于，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以错
4、误正确【答案】C6.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQMN的实数的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【解析】建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为x12，y12，1，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.【答案】B二、填空题7若A，B，C是平面内三点，设平面的法向量a(x，
5、y，z)，则xyz_.【解析】A，A，由a0，a0，得即xyzyy23(4)【答案】23(4)8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM12MC1，点N为B1B的中点，则|MN|【解析】【答案】9.(2013寿光模拟)如图，在30的二面角 -l-的棱上有两点A，B，点C，D分别在，内，且ACAB，BDAB，ACBDAB1，则CD的长度为 .【解析】由及，150，得【答案】10.已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是 .【解析】设(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22).(1)(2)(2)(1)(32)(22)
6、621610.当时，取最小值为.此时，即Q点的坐标是.【答案】 三、解答题11.已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b，(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值；(4)若(ab)(ab)与z轴垂直，求，应满足的关系.【解析】(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，所以|c|，m1.c(2，1,2)或(2,1，2).(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向
7、量a与向量b的夹角的余弦值为.(3)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.(4)ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)，(ab)(ab)与z轴垂直，(2，22)(0,0,1)220，即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z轴垂直.12.（湖北黄冈中学2013届高三6月适应性考试）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1底面ABC，A1AC=60.(1）求侧棱AA1与平面AB1C所
8、成角的正弦值的大小；(2）已知点D满足BD=BA+BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.【解析】(1)侧面A1ACC1底面ABC,作A1OAC于点O，A1O平面ABC.又ABC=A1AC=60，且各棱长都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A（0，-1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），=(0,1,),=(,2,),=（0，2，0）设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1),则 解得n=(-1,0,1).由cos,n=而侧棱AA1与平面AB1
9、C所成角，即是向量AA1与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为，（2）=+，而=(-,-1,0),=(-,1,0).=(-2,0,0),又B（，0，0），点D的坐标为D（-，0，0）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y,z),=(,y,z).平面AB1C,n=(-1,0,1)为平面AB1C的法向量，得-+z=0，z=，又由=，得又DP平面AB1C，故存在点P，使DP平面AB1C,其坐标为(0,0,),即恰好为A1点.13.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACSD
10、；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.【解析】(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a，则高SO62a，于是S0，0，62a，D22a，0，0，B22a，0，0，C0，22a，0，OC0，22a，0，SD22a，0，62a，则OCSD0，故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，且DS22a，0，62a，CS0，22a，62a，BC22a，22a，0.设CEtCS，则BEBCCEBCtCS22a，22a（1t），62at，而BEDS0t13.所以当SEEC21时，BEDS.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.