1、2015年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学 2015.04 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)本试卷共5页满分150分考试时间120分钟【试卷综述】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与考试说明一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号
2、在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效 3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：样本数据x1，x2， ，xn的标准差 锥体体积公式s= V=Sh其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V=Sh ，其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第卷（选择题 共60分）【题文】一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60
3、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1设，且，则等于A2 B4CD10【知识点】复数与复数的模 L4【答案】【解析】C 解析：由题意可知，所以所以它的模等于所以正确选项为C.【思路点拨】由复数相等可求出字母的值，再利用求复数模的公式可直接求出正确结果.【题文】2执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为A1 : B3 C9 D27【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】A 解析：由程序框图可知当输入值为3时，执行的程序为，故A正确.【思路点拨】根据程序进行运算，代入相应的值即可得到最后结果.【题文】3不等式的解集为A : B C D【知识点】一元二次不等式
4、与分式不等式 E3【答案】【解析】D 解析：由题意可知不等式等价与，所以D为正确选项.【思路点拨】本题可由分式不等式直接化成一元二次不等式，再求出解集.【题文】4“”是“”的充分而不必要条件 必要而不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件【知识点】集合;命题及其关系 A1 A2【答案】【解析】A 解析：当时集合一定成立，而当成立时不一定等于2，所以“”是“”的充分而不必要条件，所以A正确.【思路点拨】根据集合的关系可知两个集合之间的充分必要性.【题文】5已知满足则的最大值为 A B C D【知识点】线性规划 E5【答案】【解析】C 解析：由线性规划知识可知当目标函数过可行域的点时取得最大值，
5、这时，所以C为正确选项.【思路点拨】由条件可求出可行域，再根据目标函数求出最大值.【题文】6设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题正确的是若，则 若，则 若，则 若，则【知识点】直线与平面的位置关系 G4【答案】【解析】C 解析：由直线与平面的性质可知当，时，则，所以正确选项为C.【思路点拨】由直线与平面的位置关系我们可以直接判定各选项的正误.【题文】7在中，内角，的对边分别是，若，则角等于A B C D【知识点】解三角形 C8【答案】【解析】A 解析：由正弦定理可知，所以可得，又，所以A=，所以A正确.【思路点拨】本题可先根据正弦定理求出三角形边之间的关系式，再利用余弦定理求出角A
6、的余弦值，最后找到正确结果.【题文】8若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为A B C D 【知识点】直线与圆锥曲线H8【答案】【解析】D 解析：由题意可设过点的直线为，已知曲线的图象为以为圆心，1为半径的半圆，所以当直线与圆相切时求出斜率，所以若直线与曲线有交点则直线的斜率为，所以D正确.【思路点拨】由已知条件可求出满足题意的情况，再由图象找出位置关系，最后计算出结果.【题文】9函数的图象大致是【知识点】三角函数的图象 C4【答案】【解析】B 解析：由函数的性质可知为偶函数，所以图象关于y轴对称，的值域，所以的值都为正值，当由选项可知B正确.【思路点拨】根据三角函数的有界性可求
7、出值，再根据函数的性质求出图象.【题文】10在等边中，,且D,E是边BC的两个三等分点，则等于A. B. C. D. 【知识点】向量的数量积 F3【答案】【解析】B 解析：由题意可知，再由余弦定理可知夹角的余弦值，所以，所以正确选项为B.【思路点拨】由余弦定理可求出边长的值及两向量的夹角，代入公式即可.【题文】11已知为双曲线的左焦点，直线过原点且与双曲线相交于两点若，则的周长等于 A B C22 D24 【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】C 解析：解：由题意，直线l过原点且与双曲线C相交于P，Q两点，=0，PF1QF1，以PQ为直径的圆经过F1，|PQ|=2c=10，设F2为双
8、曲线C：=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|，|QF1|PF1|=2，|QF1|2+|PF1|2=100，2|QF1|PF1|=44，（|QF1|+|PF1|）2=144，|QF1|+|PF1|=12，PF1Q的周长等于22，故选：C【思路点拨】确定以PQ为直径的圆经过F1，可得|PQ|=2c=10，设F2为双曲线C：=1的右焦点，则根据双曲线的对称性，可得|PF1|=|QF2|，利用双曲线的定义，结合勾股定理，即可得出结论【题文】12已知是定义在上的函数，且满足,若曲线在处的切线方程为，则曲线在处的切线方程为 A B C D【知识点】函数的图象与性质 B4 B8【答
9、案】【解析】D 解析：由题意可知函数为偶函数，且函数关系对称，所以函数的周期为4，又根据处的切线方程为，可知处的切线方程为，所以向右平移4个单位可得在处的切线方程.【思路点拨】根据函数的性质可判定函数的对称轴与周期，再经过图象的平移可得到切线方程.第卷（非选择题 共90分）【题文】二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在答题卡相应位置【题文】13已知，则_【知识点】二倍角公式 C6【答案】【解析】 解析：【思路点拨】由三角的二倍角的公式可求出值.【题文】14已知函数若，则 _【知识点】分段函数 B1【答案】【解析】0 解析：若则，若则无解，所以【思路点拨】由分段函数的意义可直
10、接求出解.【题文】15如图，函数的图象经过矩形的顶点若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_【知识点】概率 K3【答案】【解析】 解析：由图可知阴影部分的面积占整个矩形ABCD的面积的一半，所以随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于【思路点拨】根据概率的定义可由图直接分析出结果.【题文】16系列的纸张规格如图，其特色在于：A0，A1，A2，An所有规格的纸张的长宽比都相同； A0对裁后可以得到两张A1 An，A1对裁后可以得到两张A2，An-1对裁后可以得到两张An现有每平方厘米重量为克的A0，A1，A2，An纸各一张，若A4纸的宽度为厘米，则这（） 张纸的重量之和等于_（单位：
11、克）【知识点】数列 D3【答案】【解析】解析：设每张纸的长宽比为k，则纸的长为ka，则纸的长8a,宽4ka，由，所以的重量为：，而，纸的重量构成以为公比的等比数列，所以，【思路点拨】求出纸张的长宽比，判定，纸的重量构成等比数列，利用等比数列的前n项和公式求得，从而确定结论. 【典例剖析】本题比较典型，求出一张纸的长宽比是关键. 【题文】三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】17(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为，图象过点（）求函数的解析式；（）若函数的图象是由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度而得到，且在区间内是单调函数，求实数的最大
12、值【知识点】三角函数的图象与性质 C4【答案】【解析】(I)(II) 实数的最大值为解析：（）因为的最小正周期是，所以，得 .2分所以又因为的图象过点，所以，因为，所以 .5分所以，即 .6分（）由（）知，由题设可得.8分因为，所以，.10分要使函数在区间内是单调函数，只有，所以因此实数的最大值为 【思路点拨】根据已知条件可求出解析式，再由三角函数的图角移动法则可求出M的最大值.【题文】18（本小题满分12分）2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的
13、方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（）设该城市郊区和城区的居民户数比为，现将年人均 用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策【知识点】统计与概率 I2 K1【答案】【解析】(I) (II) 符合 解析：解：（）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是： （19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25
14、,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个.其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为，则所求的概 （）设该城市郊区的居民用户数为，则其城区的居民用户数为依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为： 故此方案符合国家“保基本”政策 【思路点拨】根据题意可求出总的基本结果数，再求出不超过30吨的基本结果数，即可求出概率，根据用户的百分比可知方案符合国家政策.【题文】19(本小题满分12分) 某几何体
15、的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形（）若为线段上的点，求四棱锥的体积；（）已知为线段的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段，并给予证明【知识点】几何体的体积与三视图 G2【答案】【解析】（I） (II)见解析 解析：解：（）取线段的中点，连接，则又，又 ， ， .1分又点在为线段上的点，且平面，是四棱锥的高， .2分又， .4分.6分（）所求的线段 首先，在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段8分下面证明 连接，交于点，则点为线段的中点，连接，在平面中，同理， .10分又在正方形中， .11分， 【思路点拨】由几何体的直观
16、图可求出高与底面积，进而求出体积，再由线段的性质可证明.【题文】20(本小题满分12分) 已知中心在原点的椭圆的右焦点坐标为，离心率等于（）求椭圆的标准方程；（）证明斜率为1的所有直线与椭圆相交得到的弦的中点共线；（）图中的曲线为某椭圆的一部分，试作出椭圆的中心，并写出作图步骤【知识点】直线与椭圆 H5【答案】【解析】(I) (II) (III)见解析 解析：（）依题意，得，所以，所以椭圆的方程为 （）设直线：，：，分别交椭圆于及，弦和的中点分别为和由得，令，即又所以，即 .6分同理可得 .7分所以直线所在的直线方程为 .8分设：是斜率为1且不同于的任一条直线，它与椭圆相交于，弦的中点为同理可
17、得由于，故点在直线上 所以斜率为1的直线与椭圆相交得到的所有弦的中点共线 （）任作椭圆的两条组平行弦，其中与不平行分别作平行弦的中点及平行弦的 中点 连接，直线，相交于点，点即为椭圆的中心【思路点拨】由已知条件可求出椭圆的几何量，再列出椭圆方程；设出斜率为1的直线方程，再求出中点所在的方程；找出平行弦垂直平分线的交点即可找到椭圆的中心.【题文】21（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且()求数列的通项公式；（）设，试问：是否存在非零整数，使得数列为递增数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【知识点】数列的通项及性质 D3【答案】【解析】(I)(II) 存在非零整数使得数列为递增数列.解
18、析：解()因为，所以当时，解得； 当时，即，.3分由，知，所以是以的等比数列 所以 （）假设存在非零整数，使得数列为递增数列，即对于，都有由()知，又，所以， 所以只要对任意，恒有，即只要对任意，恒有当为奇数时，等价于恒成立又为奇数时，的最小值为，所以 8分当为偶数时，等价于恒成立 又为偶数时，的最大值为，所以10分综上， 11分又为非零整数，故存在非零整数 为使得数列递增数列 【思路点拨】由数列的前n项和公式与通项公式的关系可求出数列的通项公式.根据条件可分类讨论数列的增减性，确定 为使得数列递增数列【题文】22(本小题满分14分) 已知函数（）求的最小值；（）判断的零点个数，说明理由；（）
19、若有两个零点，证明：【知识点】导数与函数的零点 B11【答案】【解析】（I） (II)见解析(III)见解析 解析： 解：（）因为， 所以，当，当，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，2分故当时，取得最小值为 4分（）由（）知的最小值为（1）当，即时，没有零点5分（2）当，即时，有一个零点6分 （3）当，即时，构造函数，则，当时，所以在上单调递增，所以，因为，所以，又，故 8分又，9分所以必存在唯一的，唯一的，使得为的两个零点， 故当时，有两个零点10分（）若为的两个零点，设，则由（）知因为11分令，则，12分所以在上单调递增，因此，又，所以，即，故，13分又，且由（）知在单调递减，所以，所以14分【思路点拨】利用函数的导数可证明函数的增减性，再求出函数的最小值，分情况讨论函数的零点个数，再由函数的性质证明.