1、对数的概念 对数的运算基础过关练题组一对数的概念及性质1.下列说法:只有正数有对数;任何一个指数式都可以化成对数式;以5为底25的对数等于2;3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.32.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为()A.a12,且a1B.0a0,且a1D.a0,a1,xy0,nN*,则下列各式:(logax)n=nlogax;(logax)n=logaxn;logax=-loga1x;nlogax=1nlogax;logaxn=loganx.其中正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.已知lg2=a,lg3=b,则log36=(
2、)A.a+baB.a+bbC.aa+bD.ba+b10.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考)(lg2)2+(lg5)2+lg4lg5=.11.(2020山东滨州高一上期末)计算:log233log32=. 12.计算下列各式:(1)2lne+lg1+3log32;(2)3log34-lg10+2ln1.题组三对数运算的综合应用13.已知a,b,c是ABC的三边,且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lga+1=0有两个相等的实数根,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形14.(2021江苏南通如东高一上期中)物理学规定音量大小的单位是分
3、贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小可由如下公式计算:=10lgII0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度),人类生活在一个充满声音的世界中,人们通过声音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间,则60dB声音的声波强度I1是40dB声音的声波强度I2的()A.32倍B.1032倍C.100倍D.lg32倍15.(2020河北唐山一中高一期中)已知loga3=m,loga2=n(a0,且a1).(1)求am+2n的值;(2)若0x0,且a1,loga2=x,则ax=,a2x+a-2x=.题组二对数式的恒等变形4.(2020陕西西安中学高一上期中,)已知x,
4、y,z都是大于1的正数,m0,logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为()A.160B.60C.2003D.3205.(2020广东珠海高一上期末,) 计算:5-125log55-log37log79+log126+log122=.6.(2020天津滨海新区高一上期末,)若lg2=a,lg3=b,则log312的值为.(结果用含a,b的代数式表示)7.(2021河北张家口一中高一上期中,)求值:2723-2log23log218+2lg(3+5+3-5)=.8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知实数a,b满足logab-3logba=2,且aa=b
5、b,则a+b=.9.(2020河南省实验中学高一上期中,)计算:(1)log3427+lg25-5log574+lg4;(2)2log32-log3329+log38-25log53.10.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知A=-13-20+810.25-(-3)2823+log53log325,B=log2(4B+2A),求A,B的值.题组三对数运算的综合运用11.(多选)(2021江苏徐州一中高一上期中,)已知2a=3,b=log32,则()A.a+b2B.ab=1C.3b+3-b=829D.a(b+1)+12a=log91212.(2020山东临沂高一上期末素养水平监测,)已知lg
6、x+lgy=2,则1x+1y的最小值是.13.()设方程log3x3+log27(3x)=-43的两个根分别为a和b,则a+b的值为.14.(2020山东济南高一上期末,)数学运算是指在明确运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a0,且a1,M0,那么logaMn=nlogaM(nR);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4lg8lg9+lg16lg27的值;(3)因为210=1024(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,称为位数).请你运用所学过的对数运算
7、的知识,判断20192020的位数.(参考数据:lg20193.305)答案全解全析基础过关练1.B对于,由对数的概念知,负数和0没有对数,故正确;对于,指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故错误;对于,以5为底25的对数等于2,故错误;对于,负数没有对数,所以log3(-5)无意义,故错误.故选B.2.B由题意知-2a+10,a0,a1,解得0a0,a0,且a1)知与正确.9.Blog36=lg6lg3=lg2+lg3lg3=a+bb.10.答案1解析(lg2)2+(lg5)2+lg4lg5=(lg2)2+(lg5)2+lg22lg5=(lg2)2+(lg5)2+2lg2lg5=(lg2+
8、lg5)2=lg(25)2=12=1.故答案为1.11.答案13解析log233log32=13log23log32=13lg3lg2lg2lg3=13.12.解析(1)原式=21+0+2=2+2=4.(2)原式=3log34-1+20=3log3431+1=43+1=73.13.B由题意知=0,即(-2)2-4lg(c2-b2)-2lga+1=0,化简得2lga-lg(c2-b2)=0,所以lga2c2-b2=0,所以a2c2-b2=1,所以a2+b2=c2,故ABC是直角三角形.14.C=10lgII0,60dB声音的声波强度I1=106I0,40dB声音的声波强度I2=104I0,I1I
9、2=106I0104I0=102=100,故选C.15.解析(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,因此am+2n=ama2n=322=12.(2)m+n=log32+1,loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,由0x1知x-x-10,由等式2a=m,5b=m两边取对数,可得a=log2m,b=log5m,1a=logm2,1b=logm5,所以1a+1b=logm2+logm5=logm10=2,可得m=10,故选A.2.答案-3解析2log214-23-2+lg1100+(2)ln1=
10、2-2-322+(-2)+(2)0=14-94-2+1=-3,故答案为-3.3.答案2;174解析由指数式与对数式的互化得loga2=xax=2.a2x+a-2x=(ax)2+1(ax)2=22+122=174.4.B依题意得logmx=124,logmy=140,logm(xyz)=112logmx+logmy+logmz=112,logmz=112-124-140=160.因此logzm=60,故选B.5.答案0解析原式=155-log37log732+log1212=1-2log37log73+1=1-2+1=0.解题模板对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化不同底为同底
11、;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值.6.答案2a+bb解析lg2=a,lg3=b,log312=lg12lg3=lg3+2lg2lg3=b+2ab,因此答案为2a+bb.7.答案19解析原式=(33)23-3(-3)+lg(3+5+3-5)2=9+9+lg(3+5+3-5+29-5)=9+9+lg10=19.8.答案439解析由logab-3logab=2,得到logab=3或logab=-1,则b=a3或b=1a.当b=a3时,aa=bb=(a3)a3=a3a3,则a=3a3,而a0,则a=33,b=39;当b=1a时,aa=bb=1a1a=
12、a-1a,则a=-1a,而a0,所以无解,所以a+b=439.9.解析(1)log3427+lg25-5log574+lg4=14log327+(lg25+lg4)-5log574=34+2-74=1.(2)原式=log34-log3329+log38-25log259=log349328-9=log39-9=2-9=-7.10.解析A=-13-20+810.25-(-3)2823+log53log325=1+3-34+log53log525log53=-8+2=-6,又B=log2(4B+2A),2B=4B-12,令t=2B(t0),则t2-t-12=0,解得t=-3(舍去)或t=4,即2B
13、=4,B=2.故A=-6,B=2.11.ABD2a=3,a=log23,b=log32,ab=log23log32=1,因此B正确;由基本不等式可知a+b2ab=2,因此A正确;3b+3-b=2+12=52,因此C错误;a(b+1)+12a=ab+a+12a=2+a2a=1a+12=log32+log33=log323=log912,因此D正确.故选ABD.12.答案15解析由lgx+lgy=2得xy=100,所以1x+1y=1100xy1x+1y=1100(x+y)150xy=15,当且仅当x=y=10时,取等号,故答案为15.13.答案1081解析利用对数换底公式把方程log3x3+log
14、27(3x)=-43化为11+log3x+1+log3x3=-43,(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,解得1+log3x=-1或1+log3x=-3,log3x=-2或log3x=-4,因此x=19或x=181,从而a+b=19+181=1081,故答案为1081.14.解析(1)解法一:设x=logaM,则M=ax,所以Mn=(ax)n=anx,所以logaMn=nx=nlogaM.解法二:设x=nlogaM,所以xn=logaM,所以axn=M,所以ax=Mn,因此x=logaMn,故logaMn=nlogaM.解法三:因为alogaMn=Mn,所以anlogaM=(al
15、ogaM)n=Mn,因此alogaMn=anlogaM,所以logaMn=nlogaM.(2)lg3lg4lg8lg9+lg16lg27=lg3lg22lg23lg32+lg24lg33=lg32lg23lg22lg3+4lg23lg3=lg32lg217lg26lg3=1712.(3)解法一:设10k2019202010k+1,kN*,两边取常用对数,得klg20192020k+1,因此k2020lg2019k+1,又lg20193.305,所以k20203.305k+1,解得6675.1k6676.1,又kN*,所以k=6676,故20192020的位数为6677.解法二:设20192020=N,则2020lg2019=lgN,又lg20193.305,所以lgN6676.1,因此N=106676.1=100.1106676,又1100.110,所以N的位数为6677,即20192020的位数为6677.解题模板解决数字的位数问题,需要对该数取对数进行分析,由对数的整数部分就可以得到此数的位数,如lgN=6676.1,则N的位数为6676+1=6677.
