1、上海南汇中学2020学年第二学期期末考试高一数学一、填空题：（每小题3分，共36分）1.已知复数，若为纯虚数，则实数_.2.已知向量，若，则实数_.3.若，则_.4.已知角满足，则的值为_.5.函数，的单调增区间为_.6.若是方程的一个根，则_.7.已知向量，则向量在向量的方向上的数量投影为_.8己知向量、，则的取值范围是_.9.已知函数与的图像有一个横坐标为的交点，则常数的值为_.10.复平面上两个点，对应两个复数，它们满足下列两个条件：，且；两点，连线的中点所对应的复数，则的面积为_.11.如图是函数在一个周期内的图像，该函数图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、的轴正
2、方向的单位向量，则_.12.定义：对于任意实数、，.设函数的表达式为（，常数），函数的表达式为，若对于任意，总存在使得成立，则实数的取值范围是_.二、选择题：（每小题3分，共12分）13.在中，若，则的形状是（ ）4.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定14.设、为复数，下列命题一定成立的是（ ）4.如果，那么B.如果，那么C.如果，是正实数，那么D.如果，是正实数，那么15.已知函数的表达式为，函数的表达式为，则下列说法正确的是（ ）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为D.与都不是周期函数16.已知在中，是边上的一个定点，满足，若对于边所在直线上任意一
3、点，恒有，则（ ）A.B.C.D.三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17.（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分）已知复数满足，.（1）求复数的共轭复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.18.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）已知向量，.（1）若，求的值；（2）若函数，求此函数当时的最大值.19.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和北偏东30方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少0.4米，于是
4、选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.（1）、两处垃圾的距离是多少米?（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角是多少弧度?（用反三角函数表示）20.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）设，其中，.（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：并指出等号成立的条件；（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数最大值.21.（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分）在中，.（1）如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心，为半径的
5、圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围；（3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值.上海南汇中学2020学年第二学期期末考试高一数学参考答案一、填空题：（每小题3分，共36分）1.【答案】：-32.【答案】：3.【答案】：34.【答案】：5.【答案】：6.【答案】：137.【答案】：8.【答案】：3,59.【答案】：【解析】：根据题意得，因为，所以，所以，所以.10.【答案】：2011.【答案】：12.【答案】：二、选择题：（每小题3分，共12分）13.【答案】：C14.【答案】：D15.【答案】：C16.【答案】：D三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，
6、第21题14分，共52分）17.【答案】：见解析【解析】：（1）设，因为，所以，解得，所以，所以复数的共轭复数，（2）在复平面上对应的点在第四象限，所以，解得，所以实数的取值范围是.18.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）【答案】：见解析【解析】：（1），即；（2）因为，所以.所以当，即时，最大值为.19.（本题满分10分，第（1）题5分，第（2）题5分）【答案】：见解析【解析】：（1）设、分别是、所对的边，、均为正数。由题意可知：，由余弦定理可得： 由得，（另一解与题意不符，舍）即、两处垃圾的距离是1.4米。（2）由题意得：正弦定理可得：即，由题意，为锐角，得即，智能扫地机器
7、人此次清扫行走路线的夹角（、均给分，应用余弦定理或建立坐标系等解法参照给分）20.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）【答案】：见解析【解析】：（1），设、夹角为所以，因为，所以，所以，、共线，即取得等号.（2）由（1）可得，当且仅当，即取得等号所以的最大值是2.21.（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分）【答案】：见解析【解析】：（1）延长交于，则是中点，所以；（2）以为原点，建立如图坐标系，则，设，因为，所以，所以所以因为，所以，所以，所以；（3）因为，所以由可得即平方可得，即根据平行四边形法则可知，令，则，根据基本不等式可得，所以，解得或所以，所以，所以的最小值是2.