1、上海市奉贤区奉贤中学高三下学期期中试卷一、填空题1.已知(为虚数单位),则_2.设一组样本数据，的方差为，则数据，的方差为_3. 已知，则_.4.点到直线距离的最大值为_5.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为_6. 展开式的二项式系数之和为，则展开式中的系数为_.（用数字填写答案）7.不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 8.在数列中，若对一切都有且，则的值为_9.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，
2、角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.则四棱锥的总曲率_10.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为_11. 已知，且.式子的最小值是_.12.已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_二、选择题13.已知全集，集合是的非空子集，且，则必有（ ）【A】 【B】 【C】 【D】14. “”是“直线与直线平行”的（ ）【A】充分不必要条件【B】必要不充分条件【C】既不充分也不必要条件【D】充要条件1
3、5.已知的反函数图像的对称中心为，则的值为（ ）【A】【B】【C】【D】16.已知不等式的解集是，则下列四个命题：；若不等式的解集为，则；若不等式的解集为，且则.其中真命题的个数是（ ）【】1【】2【】3【】4三、解答题17. 如图在三棱锥中，棱两两垂直，点在上，且.(1)求异面直线和所成的角的大小；(2)求三棱锥的体积.18.若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”(1)、判断函数是否为“依附函数”，并说明理由。(2)、若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围。19.由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响，月份复工复产工作逐
4、步推进，居民生活逐步恢复正常，李克强总理在月日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机。某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中,且在该区域内处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为（为长度单位）。陈某准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度和路灯的粗细可以忽略不计）以供购买冷饮的人休息（1）求点到点的距离（2）为优化经营，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值20.已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦
5、点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值21已知函数，各项均不相等的数列满足：，令（1） 试举例说明存在不少于项的数列，使得；（2） 若数列的通项公式为，证明对恒成立；（3） 若数列是等差数列，证明对恒成立；FY21上海市奉贤区奉贤中学高三下学期期中试卷一、填空题1.已知(为虚数单位),则_【答案】【解析】根据复数的基本运算法则进行化简求解即可2.设一组样本数据，的方差为，则数据，的方差为_【答案】【解析】本题由方差计算公式知若，的方
6、差为，则，的方差为3. 已知，则_.【答案】【解析】由，结合两角和的正弦公式，得，化简，得4.点到直线距离的最大值为_【答案】【解析】直线恒过点则点到直线的距离的最大值为点到的距离5.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，易知内切球半径6. 展开式的二项式系数之和为，则展开式中的系数为_.（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意可得，所以展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.7.不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 【答案】【解析】由题意可知，或，、解得或8.在数列中，若对一切都有且，则的值为_【答
7、案】【解析】由题意可知数列为公比为的等比数列，运用数列极限的运算解方程即可得到所求9.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.则四棱锥的总曲率_【答案】【解析】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，所以四棱锥的总曲率为：10
8、.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为_【答案】1【解析】设球的半径为，则，解得.设外接圆半径为，边长为，因为是面积为的等边三角形，所以，解得，所以，所以球心到平面的距离.11. 已知，且.式子的最小值是_.【答案】2【解析】令，则且，当且仅当取等号，即时成立.12.已知函数（其中为常数，且）有且仅有个零点，则的最小值为_【答案】【解析】因为原函数为偶函数又有且仅有3个零点，故必有个零点为，所以所以故由的，所以而，所以所以的最小值为二、选择题13.已知全集，集合是的非空子集，且，则必有（ ）【A】 【B】 【C】 【D】【答案】【解析】根据条件可得
9、或14. “”是“直线与直线平行”的（ ）【A】充分不必要条件【B】必要不充分条件【C】既不充分也不必要条件【D】充要条件【答案】D【解析】若直线与直线平行，则且，即，故为充要条件.15.已知的反函数图像的对称中心为，则的值为（ ）【A】【B】【C】【D】【答案】【解析】，故的对称中心为，因为的反函数图像的对称中心为，所以的对称中心为，所以，所以，故选.16.已知不等式的解集是，则下列四个命题：；若不等式的解集为，则；若不等式的解集为，且则.其中真命题的个数是（ ）【】1【】2【】3【】4【答案】【解析】由题意，。，等号当且仅当时成立，所以正确；等号当且仅当，即时成立，所以正确由韦达定理，知，
10、则所以正确。由韦达定理，知，则，解得,所以正确。综上，真命题的个数是3三、解答题17. 如图在三棱锥中，棱两两垂直，点在上，且.(1)求异面直线和所成的角的大小；(2)求三棱锥的体积.【答案】（1） （2）【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，点在上，设异面直线和所成角为，（2）由题意得即18.若函数对定义域内每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”(1)、判断函数是否为“依附函数”，并说明理由。(2)、若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围。【答案】(1)、不是“依附函数”； (2)、【解析】(1)、对于函数的定义域R内存在，则无解，故不是“依附函数”；(2)、
11、因为在递增，故即，由故，得从而在上单调递增，故；19.由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响，月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常，李克强总理在月日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机。某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中,且在该区域内处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为（为长度单位）。陈某准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度和路灯的粗细可以忽略不计）以供购买冷饮的人休息（1）求点到点的距离（2
12、）为优化经营，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值【答案】（1）（2）时，该三角形区域面积最小，面积的最小值为【解析】（1）连接,在中，由余弦定理可知：， 在中,由正弦定理知，连接,在中，,故点到点的距离为（2）由正弦面积公式可知，,有且仅当=，即时，等号成立。此时，故当时，该三角形区域面积最小，面积的最小值为20.已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值【答案】：（1）和（2）（3）【解析】：（1）因为，所以，解得所以曲线的方程为和（2）曲线的渐近线为如图设直线则又有数形结合知设点则（3）由（1）可知，和点设直线为，化为，设，所以所以，令所以，当且仅当，即时等号成立所以21已知函数，各项均不相等的数列满足：，令（4） 试举例说明存在不少于项的数列，使得；（5） 若数列的通项公式为，证明对恒成立；（6） 若数列是等差数列，证明对恒成立；【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）是奇函数，且在上单调递增，取，则（2）由于那么恒成立（3）如，若，则，同理可得，由累加可得。
