1、学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若yf(x)与yg(x)是a，b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线xa，xb所围成的平面区域的面积为()A.f(x)g(x)dxB.g(x)f(x)dxC.|f(x)g(x)|dxD.【解析】当f(x)g(x)时，所求面积为f(x)g(x)dx；当f(x)g(x)时，所求面积为g(x)f(x)dx.综上，所求面积为|f(x)g(x)|dx.【答案】C2.由抛物线yx2介于(0，0)点及(2，4)点之间的一段弧绕x轴旋转所得的旋转体的体积为()A.B.C.D.【解析】V(x2)2dxx5.【答案】D3.如图434，阴影部分的
2、面积是()图434A.2B.2C.D.【解析】S(3x22x)dx.【答案】C4.曲线yx21与x轴所围成图形的面积等于()A.B.C.1D.【解析】函数yx21与x轴的交点为(1，0)，(1，0)，且函数图像关于y轴对称，故所求面积为S2(1x2)dx22.【答案】D5.由xy4，x1，x4，y0围成的平面区域绕x轴旋转所得的旋转体的体积是()A.6B.12C.24D.3【解析】因为xy4，所以y，Vy2dxdx16x2dx16x11612.【答案】B二、填空题6.由曲线y与yx3所围成的图形的面积可用定积分表示为_. 【导学号：94210077】【解析】画出y和yx3的草图，所求面积为如图
3、所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为S(x3)dx.【答案】(x3)dx7.由曲线ye，直线x0，x1以及x轴所围成的图形绕着x轴旋转一周形成的几何体的体积是_.【解析】体积Vexdx(e1).【答案】(e1)8.由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为_.【解析】由得其交点坐标为(4，2).因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为(x2)dx81624.【答案】三、解答题9.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图435所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值.图435【解】由题图知
4、方程f(x)0有三个实根，其中有两个相等的实根x1x20，于是b0，所以f(x)x2(xa)，有0(x3ax2)dx，所以a3.又a0a0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为()A.yaxB.yaxC.yaxD.y5ax【解析】显然，直线l的斜率存在.设直线l的方程为ykx，由得交点坐标为(0，0)，(2ak，2akk2)，所以图形面积Skx(x22ax)dx.又因为Sa3，所以a3，解得ka，所以直线l的方程为yax.故选A.【答案】A3.一个半径为1的球可以看成是由曲线y与x轴所围成区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的，则球的体积为_.【解析】V(1x2)dx(1x2)dx.【答案】4.已知曲线C：y2x33x22x1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.【解】设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y6x26x2，所以有解得x00，于是切线l的斜率k2，方程为y2，即y2x1.解方程组得或故切线l与曲线C围成图形的面积为S|2x33x22x1(2x1)|dx|2x33x2|dx，即所求面积为.
